По мотивам Патнема

[OV08]

Существует ли отличная от тождественного нуля функция $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$, такая что, для любого квадрата $ABCD$ со стороной $1$ :

$$f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$$

[Sasha2]

Обозначаем слева направо и сверху вниз точки:
A, B, E
D, C, F
M, H, G
являющиеся вершинами квадратов.
Тогда для всех полученных квадратных контуров имеем следующие уравнения (знак функции опускаем ради простоты записи):
A+B+C+D=0
B+E+F+C=0
C+F+G+H=0
D+C+H+M=0
D+B+F+H=0
A+E+G+M=0

Остается выяснить имеет ли данная линейная однородная система решения, отличные от нулевого.

[venco]

Sasha2 в сообщении #320655 писал(а):

Обозначаем слева направо и сверху вниз точки:
A, B, E
D, C, F
M, H, G
являющиеся вершинами квадратов.

Очевидно, что если рассматривать только квадратную сетку, то решение есть:
...-1,1,-1,1...
...1,-1,1,-1...
...-1,1,-1,1...
...1,-1,1,-1...

[Sasha2]

Нет, во всяком случае Ваш пример неправилен.
Найдите среди своих единиц 4 равных в вершинах ромба (он же в данном случае квадрат)

[OV08]

Sasha2

OV08 в сообщении #320634 писал(а):

для любого квадрата $ABCD$ со стороной $1$

А у AEGM сторона вроде 2
venco
Это да, интереснее все таки общий случай.

[meduza]

Стёр. Проигнорировал одно условие, спасибо venco.

[venco]

meduza, в условии только квадраты со стороной 1.

[RamsesHawk]

Квадраты единичной площади образуют всевозможные замощения плоскости $\mathbb{R}^2$.

Пара замощений может либо иметь общие точки, либо не иметь их. Таким образом, мы можем классифицировать замощения следующим образом:
1) не имеют общей точки;
2) имеют одну общую точку;
3) имеют бесконечное множество общих точек.

Рассматривая последний случай, можем заметить, что самосовмещения, имеющие бесконечное число общих точек, сами представляют собой квадратные решётки, только площади квадратов будут $n^2$, где $a,b,n \in \mathbb{N} : a^2+b^2=n^2$ - пифагоровы тройки.

Рассмотрим теперь любую односвязную область, представляющую собой квадрат размера $2m\times 2m$. Этот квадрат содержит $V_{m}=(2m+1)^2$ вершин и состоит из $4m^2$ квадратов, следовательно, количество произвольных постоянных, таких, чтобы данный квадрат удовлетворял условию задачи должно быть $c=(2m+1)^2 - (2m)^2 = 4m+1$.

Пусть теперь мы рассматриваем центральную точку этого квадрата и нашли пифагорову тройку $a, b, n$. Тогда мы можем самосовместить плоскость поворотом на угол $\alpha = \arctg(\frac{b}{a})$. Увеличивая размер пары квадратов мы всегда можем добиться того, чтобы количество произвольных постоянных, необходимых для задания функции над каждым из квадратов, которое растёт линейно и для пары квадратов равно $C=2\cdot(4m+1)$ было меньше, чем количество дополнительных уравнений связей вида:
(1) $a_{i,j}=a'_{i',j'}$.
Действительно, количество таких уравнений будет не меньше, чем $N=\gamma \cdot (\frac{m}{n})^2$ - ведь это количество растёт пропорционально площади квадратов - квадратично, в то время, как количество произвольных постоянных растёт линейно. Поэтому всегда можно найти такое $m$, что для любого $n$ однородная система будет избыточной - т.е. её решениями будут лишь нули.

Это доказывает, что для любой конечной части $\mathbb{R}^2$ функция, удовлетворяющая условию задачи, будет тождественным нулём, следовательно, для это верно и для всей плоскости, ведь в этом случае мы должны будем присоединить ещё больше условий, причём, асимптотика остаётся той же.

Далее, мы можем заметить, что для любой из точек плоскости, существуют хотя бы два различных замощения, содержащие эту точку, пересечение которых содержит ещё точки, кроме данной, следовательно, каждая такая пара будет иметь решением тождественный нуль. Значит, тождественный нуль - единственное решение задачи.

Мне было бы интересно рассмотреть такую же задачу, только для правильного $n$-угольника или для произвольной фигуры - исследование этих вопросов, на мой взгляд, полезно.

[TOTAL]

RamsesHawk в сообщении #321677 писал(а):

Действительно, количество таких уравнений будет не меньше, чем $N=\gamma \cdot (\frac{m}{n})^2$ - ведь это количество растёт пропорционально площади квадратов - квадратично, в то время, как количество произвольных постоянных растёт линейно. Поэтому всегда можно найти такое $m$, что для любого $n$ однородная система будет избыточной - т.е. её решениями будут лишь нули.

Из того, что уравнений больше, чем неизвестных, не следует, что система имеет только нулевое решение.

[RamsesHawk]

Система имеет нулевое решение, если количество линейно-независимых уравнений в ней не меньше количества неизвестных и столбец свободных членов - нулевой. Что и реализуется в данном случае.
Всё же, я пытаюсь найти другое - более очевидное и короткое доказательство.

[TOTAL]

RamsesHawk в сообщении #322371 писал(а):

Что и реализуется в данном случае.

Докажите, что реализуется.

[RamsesHawk]

- а не докажу...
Докажите-ка сами, TOTAL, - это не так уж сложно.

P.S.: можно, к примеру, рассмотреть различные процедуры составления областей максимального размера, удовлетворяющих условию задачи. Также можно рассмотреть то, какую максимальную область можно создать, располагая уравнением из задачи и $k$ произвольными постоянными.
Мы видим примеры построения области в первых постах, однако, можем ли мы построить область с заданными значениями в заданных точках? И, вообще, как строить области, удовлетворяющие уравнению?
Под построением области, я, конечно, имею ввиду построение функции (с заданными свойствами) над нею.

[мат-ламер]

Квадрат произвольной ориентации? Или его стороны параллельны осям? Интересно, для второго случая будет ли функция $f(x,y)=\cos(\pi x)\cos(\pi y)$ удовлетворять условиям задачи? Или уже всё доказано?

[venco]

мат-ламер в сообщении #327769 писал(а):

Квадрат произвольной ориентации?

Я думаю - произвольной, иначе всё тривиально.

[TOTAL]

Кому не в лом программировать (несложная будет программа), для небольшого участка плоскости для точек с целочисленными координатами (возьмите точек 200 - 300) запишите условие задачи для прямых квадратов 1 на 1 и для наклонных квадратов (со сторонами из Пифагоровых гипотенуз). Пусть компьютер найдет ранг системы (все действия точные, с целыми числами!).