Монотонные и не очень функции

[Sasha2]

Вот так сразу не очень понятно верно или нет?
Если числовая функция f(x) имеет обратную функцию и не является монотонной функцией, то у нее имеется по-крайней мере одна точка разрыва.

[Mitrius_Math]

А разве немонотонная функция может иметь обратную?

[Sasha2]

Да пожалуйста:
1 -> 2
2 -> 3
3 -> 1

[ewert]

Sasha2 в сообщении #326139 писал(а):

Если числовая функция f(x) имеет обратную функцию и не является монотонной функцией, то у нее имеется по-крайней мере одна точка разрыва.

А обратное к противоположному: если она непрерывна и биективна, то монотонна -- известно?...

[Sasha2]

ewert в сообщении #326182 писал(а):

Sasha2 в сообщении #326139 писал(а):

Если числовая функция f(x) имеет обратную функцию и не является монотонной функцией, то у нее имеется по-крайней мере одна точка разрыва.

А обратное к противоположному: если она непрерывна и биективна, то монотонна -- известно?...

Это неверное утверждение.
Рассмотрим функцию $|x|$, причем определим ее для x>0 только в рациональных точках, а для x<0 только в иррациональных точках.
Эта функция непрерывна и биективна, но не монотонна.

[AD]

Еще раз. На каком множестве/пространстве определена функция, и тогда в каком смысле понимается непрерывность и точки разрыва?

То есть стандартные вопросы:
а) У функции $\frac1x$ есть разрыв в точке $x=0$?
б) У функции $\sqrt{x}$ есть разрыв в точке $x=-10$?

-- Вт июн 01, 2010 09:49:21 --

Кстати, Вы сами только что ответили на свой вопрос. Не?

[Padawan]

Sasha2
Может Вам поможет следующая тема http://dxdy.ru/topic1526.html

[Sasha2]

Не поможет. Я не владею этими топологическими и алгебраическими понятиями.

Функция определяется на любом подмножестве вещественных чисел, на котором можно задавать систему епсилон-окрестностей, ну короче что-там с фильтрами, я не очень владею, но главное, чтобы окрестности имелись.