Слабая сходимость и несходимость по норме

[Lenchik-777-k]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, привести пример в пространстве С[0,1] слабо сходящейся последовательности, которая не сходится по норме пространства C[0,1].

[paha]

придумайте последовательность многочленов, сходящуюся (поточечно) к разрывной функции

[Lenchik-777-k]

этот пример можно привести как последовательность $\ x_n (t) = t^n$.
но как проверить что она сходится слабо????

[paha]

Lenchik-777-k в сообщении #322178 писал(а):

но как проверить что она сходится слабо????

"в лоб", по определению

[Lenchik-777-k]

но тогда получается что предложенная последовательность сходится к разрывной функции не пренадлежащей пространству непрерывных функций C[0,1], а в определении слабой сходимости наша предельная функция должна принадлежать пространству.

[ewert]

Lenchik-777-k в сообщении #322178 писал(а):

этот пример можно привести как последовательность $\ x_n (t) = t^n$.
но как проверить что она сходится слабо????

Она слабо не сходится.

Посмотрите последовательность типа $\dfrac{1}{n^3(x-{1\over n})^2+1}$.

[terminator-II]

а можно еще проще $\sin(nx)$

[ewert]

terminator-II в сообщении #322572 писал(а):

а можно еще проще $\sin(nx)$

Не вижу элементарной причины по которой она должна слабо сходиться к нулю То есть она наверное есть раз уж предложена но я ее чего-то пока не вижу

[id]

В $L_1[0,1]$ $\sin nx \to 0$ слабо, это из т. Римана-Лебега следует. А вот в $C[0,1]$... ?

[ewert]

Да, что-то мне не пришло в голову сразу. В $C[0;1]$ не будет $\sin(nx)$ сходиться слабо к нулю, конечно -- просто потому, что не стремится к нулю поточечно (ведь там среди функционалов есть и дельта-функции).