Уравнение или тождество?

[errnough]

2 Maslov

Здесь свободный полет, и частные мнения можно высказывать открыто :)

Иногда дискуссии прекращаются взаимно, когда после 2-3 страниц обсуждения собеседник утверждает вот такое:

Maslov в сообщении #314722 писал(а):

errnough в сообщении #314674 писал(а):

Про значения односторонних пределов для функции $y(x)=|x|$ в точке $0$ вопрос, видимо, превратился в риторический... :)

$\lim\limits_{x \to 0} |x| = 0$, поэтому оба односторонних предела существуют и равны тому же самому нулю.
Вы не можете решить элементарнейших задач, доступных ученику старших классов, и не хотите этому учиться, поэтому предлагаю беседу на этом закончить. Можете считать, что Вы меня во всем убедили.

Чему равен предел $y(x)$, говорите? Вот поэтому и закончил дискуссию. Это доступно, как Вы говорите, ученику старших классов. Не возвращаться же на 2 страницы назад, и показывать, что запутались в своих утверждениях и начали противоречить самому себе. Все ходы записаны, фигуры еще на доске, проверяйте :)

И в этом треде всё то же самое. Пропустил мимо ушей, ладно, утверждения (недоказанные), что в записи $x=3$ "три" это якобы, не число, а функция. К этому абсурду с необходимостью привело утверждение, что запись $x=3$ суть уравнение. А AD даже стал утверждать, что "три" это вообще "оно". :) На этом можно было бы и закончить, но интересно же, к каким последствиям приводят абсурды.

Поскольку знак $3$ собеседники считают записью функции (фактически, этим утверждается, что "три" здесь символ(!), а не знак объекта "число"), и определение термина "функция" из Виноградова только AD поставил под сомнение, то значение функции обозначается записью $f(x)$ или просто символом игрек, $y$.
А.: Что есть "три" в записи $x=3$, функция?
Б.: Да.
А.: То есть: $x=3 \rightarrow x=(f(x)=3)) \rightarrow x=(y=3))$?
Б.: Да.
А.: А в записи $y=3$ что есть "три", функция?
Б.: Да.
А.: То есть: $x=(y=3)) \rightarrow x=(y=(z=3)))$?
Б.: Да.
А.: Но в записи $z=3$ что есть "три", снова функция?
Б.: Да.
А.: ...
Б.: ...
....

Естественно, этот бесконечный цикл (порочный круг в определении) нужно остановить :)))

[Maslov]

(Оффтоп)

errnough в сообщении #320495 писал(а):

Чему равен предел $y(x)$, говорите?

Уж не сочтите за труд, процитируйте, пожалуйста, то место, где я утверждал, что $\lim\limits_{x \to 0} |x| \neq 0$

[AD]

errnough в сообщении #320495 писал(а):

И в этом треде всё то же самое. Пропустил мимо ушей, ладно, утверждения (недоказанные), что в записи $x=3$ "три" это якобы, не число, а функция. К этому абсурду с необходимостью привело утверждение, что запись $x=3$ суть уравнение. А AD даже стал утверждать, что "три" это вообще "оно". :) На этом можно было бы и закончить, но интересно же, к каким последствиям приводят абсурды.

В Вашем тексте логики не наблюдаю никакой. Только бессвязный текст, сопровождаемый наездами втч на меня. С чего бы это?

Вы тут утверждаете, что мы друг другу противоречим, а на самом деле мы друг другу не противоречим. Вот так вот. Мы рассказываем о возможных подходах. Они ничем не лучше и не хуже, потому что приводят к одинаковому результату. Можете считать, что $3$ - функция, можете --- что $x$ - число. Это ничего по сути не меняет в получающейся математике.

(Оффтоп)

Только Вы всё равно (не знаю, насколько это преднамеренно) не поймёте, что я только что написал, и снова всё передёрните и выставите меня маленьким идиотиком. Ну и ладно. Работа такая у Вас, видимо.

[errnough]

2 Maslov

Только давайте без обид :))) Здесь только текст, логические связи, и ничего личного.

Я спросил: А что можете сказать с своих же позиций про существование предела в точке $0$ функции $y(x)=|x|$? Общеизвестно, что производной в точке $0$ нет, но сразу ли видна причина, почему нет?

Вы ответили: Сразу видна: в точке $0$ излом.

А позже утверждали: оба односторонних предела существуют и равны тому же самому нулю. По известной теореме, тогда в самой точке производная существует и тоже равна нулю.

Вот Вам и противоречие: существует, по-Вашему, производная или нет? Можно, конечно, сказать, что это разные подходы к одному вопросу :) Вроде того, как про знак "три" уважаемый AD говорит: с одного подхода, это число, а с другого — функция. А по мне, так это — банальное противоречие.

2 AD

Извините, если чем обидел, "наезды" в мои планы никогда не входят. Мы просто мирно остаемся каждый при своем, изложив все соображения. Спасибо за Ваше участие, честно.

AD в сообщении #320519 писал(а):

Это ничего по сути не меняет в получающейся математике.

Еще как меняет... с этого всё и началось, это потом я уже «взад посылками» двигался, вплоть до разбора каждого знакоместа, знака, символа :))) Грешно не доверять той машинке, что у нас в голове, разумом называется. Лично меня никогда не подводила, уж сколько чужого кода пришлось смотреть — проверено, работает :)))

[Maslov]

errnough в сообщении #320543 писал(а):

2 Maslov

Только давайте без обид :))) Здесь только текст, логические связи, и ничего личного.

Я спросил: А что можете сказать с своих же позиций про существование предела в точке $0$ функции $y(x)=|x|$? Общеизвестно, что производной в точке $0$ нет, но сразу ли видна причина, почему нет?

Вы ответили: Сразу видна: в точке $0$ излом.

А позже утверждали: оба односторонних предела существуют и равны тому же самому нулю. По известной теореме, тогда в самой точке производная существует и тоже равна нулю.

Да боже упаси, какие могут быть обиды :)

"Известная теорема" (судя по контексту, утверждающая, что существование предела функции в точке гарантирует её дифференцируемость в этой точке) известна Вам одному. Ну тут уж я помочь не могу ничем, кроме как в очередной раз порекомендовать Вам почитать какой-нибудь простенький учебник по математическому анализу.

[arseniiv]

errnough, в разных контекстах $3$ может значить что угодно! Это просто-напросто омонимия. В "строгих выкладках" её нет, зато там куча иногда громоздких временных обозначенийю

[errnough]

2 Maslov

А Вы по ходу дела не подменили тот предел, о котором всё время шла речь, по которому задавался один и тот же, ставший риторическим, вопрос, и о чем разжевывали целую страницу?

errnough в сообщении #314536 писал(а):

о существовании предела в точке $0$ функции $y(x)=|x|$, и проверке

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0} $$

arseniiv в сообщении #320561 писал(а):

в разных контекстах $3$ может значить что угодно!

Возможно, Вы не различаете знак, знакоместо и символ.

Один объект в математике может подразумеваться под разными знаками. Например, "число пять" может быть обозначено в десятичной системе знаком 5, в римской знаком V. Противоречия нет, под косой тоже подразумевается иногда прическа, иногда инструмент. Символы же понимаются как пустые контейнеры для чисел, выражений. Символы отличаются от знака. В таком контейнере может содержаться одновременно только один объект, например, число. Можно допустить, что в разных учебниках одни авторы под знаком "3" понимают объект-число. А в другом учебнике авторы понимают под знаком "3" символ, то же, что и под знаком икс или игрек, то есть, пустой контейнер для подстановок. Последнее диковато звучит, но при разрыве контекста по учебникам, наверное, допустимо. Но когда в одном рассуждении под знаком "3" появляется то конкретный объект-число, то пустой контейнер-знакоместо для подстановки, то это уже означает впасть в явное противоречие.

«Мы наточили косу, пошли на поле, там мы обрезали косу, домой возращались по косе.»

[arseniiv]

Вы успели попутать синонимы, омонимы, знаки и понятия, которые они обозначают. Семиотика пылает огнём.

[Maslov]

(Оффтоп)

errnough в сообщении #320594 писал(а):

2 Maslov

А Вы по ходу дела не подменили тот предел, о котором всё время шла речь

Ответил в той теме: post320617.html#p320617

[arseniiv]

errnough в сообщении #320594 писал(а):

Но когда в одном рассуждении под знаком "3" появляется то конкретный объект-число, то пустой контейнер-знакоместо для подстановки, то это уже означает впасть в явное противоречие.

Вот именно что нет. Это называется эллипсис. Пример: мы упомянули, что пространство $V$ — евклидово. После этого под "пространство $V$" будет пониматься "евклидово пространство $V$". Также часто сокращают "поле $\left\langle {{\Bbb C};\ \{ + ,\ \cdot \} } \right\rangle$", чьим обыденным сокращением будет "$\left\langle {{\Bbb C};\ + ,\ \cdot } \right\rangle$", до "$\Bbb C$". Математика использует громадное количество таких переобозначений-сокращений, если посмотреть на неё построенной через теорию множеств, и даже если не смотреть. Как они все проплыли мимо вас, не удивив, а $3$ так удивило, непонятно. Кстати, даже ведь "число $3$" — это целая гроздь омонимов для натурального числа, целого числа, рационального числа, вещественного числа, комплексного числа, кватерниона, ..., класса вычетов, ...

[errnough]

Не относящийся к обсуждению пример Вы привели, давайте конкретный случай возьмем:

А.: Что есть "три" в записи $x=3$, функция?
Б.: Да.
А.: То есть: $x=3 \rightarrow \;\;\; x=(f(x)=3)) \rightarrow \;\;\; x=(y=3))$?
Б.: Да.

Здесь, в одном рассуждении, у знака "3" переключается смысл с числа на функцию?

[AD]

errnough в сообщении #320635 писал(а):

Здесь, в одном рассуждении, у знака "3" переключается смысл с числа на функцию?

Во-первых, рассуждения не вижу, и смысла в написанных Вами значках не вижу вообще. Особенно не вижу смысла вон там в серединке, когда $x$ "равен равенству" . Во-вторых, да, обозначение той же буквой $3$ числа и постоянной функции вполне общепринято и не приводит к проблемам в предположении компетентности читателя.

[Xaositect]

3 - функция, но $3\not\equiv (f(x) = 3)$

Можно спуститься на уровень ниже, и тогда "$3$" - это терм, задающий либо число $3$, либо функцию от не заданного явно аргумента (т.е. в зависимости от контекста может означать $\lambda x. 3$, $\lambda x y . 3$ и т.д.), "$f(x) = 3$" - формула, которая может пониматься либо как определение функции (начиная с этого момента $f = \lambda x.3$), либо как уравнение от одной переменной $x$ с левой частью $f$(при этом либо $f$ должна быть определена ранее, либо это функциональная переменная - символ произвольной функции) и правой $\lambda x.3$, а $x=3$ - формула, задающая уравнение от одной переменной с левой частью $\lambda x.x$ и правой частью $\lambda x.3$.

Возможно, я что-то еще пропустил. Но все эти случаи, как правило, различаются по контексту, и различать их каждый раз явно - излишний фрмализм.

И здесь $3$ и $f(x) = 3$ никак не могут быть взаимозаменяемыми, т.к. 3 - это терм, а $f(x) = 3$ - формула.

[errnough]

AD в сообщении #320648 писал(а):

Особенно не вижу смысла вон там в серединке, когда $x$ "равен равенству" :shock:

У Вас шок, у меня тоже брови поднялись... а что скажете про каноническое уравнение прямой:

$$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{0}=\frac{z-2}{1}$$

два знака равенства кому-то до сих пор в математике мешали?

AD в сообщении #320648 писал(а):

Во-вторых, да, обозначение той же буквой $3$ числа и постоянной функции вполне общепринято

Можно обобщить, постоянная функция есть частная реализация общего вида функции. И таки-да, любой буквой, иероглифом китайским, или звуком, или жестом, можно обозначить всё что угодно. Видите, этот аргумент ничего не доказывает и ничего не опровергает, и я соглашаюсь с ним, поскольку это истина.

Нужно только соблюдать правила логических рассуждений. Если в одном контексте много одинаковых знаков и под таким знаком в исходной посылке выступил конкретный смысл и в процессе рассуждений исходные посылки не меняют, то переключить смысл на иной ни под каким энным знаком вы не можете, не совершив логической ошибки. Простое, работающее всегда правило.

-- Пн май 17, 2010 21:15:23 --

Xaositect в сообщении #320649 писал(а):

3 - функция, но $3\not\equiv (f(x) = 3)$

не понял, к сожалению, я не воспринимаю импликаций как логическое рассуждение. Поэтому и объяснение не знаю к чему относить. На двух последовательных выключателях ничего логического не сделать. Сумматор — это наше всё :)

Если $3$ — функция и (???), то $3\not\equiv (f(x) = 3)$. Что там в вопросах можно поставить, если не трудно?

[AD]

errnough в сообщении #320736 писал(а):

У Вас шок, у меня тоже брови поднялись... а что скажете про каноническое уравнение прямой:

$$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{0}=\frac{z-2}{1}$$

два знака равенства кому-то до сих пор в математике мешали?

Во-первых, Вы там еще зачем-то поставили скобочки, которые приоритетнее, как ни крути. Во-вторых, принято сначала определять понятия, а только потом их использовать. А у Вас на каждом шаге появляется какое-то неопределённое обозначение. Ну $f$ еще можно понять - это Вы обозначили функцию $3$. А что тогда такое $y$?? В свете этого, в третьих, Вы в третьей части имели ввиду что угодно, но не $x=y$.

errnough в сообщении #320736 писал(а):

Нужно только соблюдать правила логических рассуждений. Если в одном контексте много одинаковых знаков и под таким знаком в исходной посылке выступил конкретный смысл и в процессе рассуждений исходные посылки не меняют, то переключить смысл на иной ни под каким энным знаком вы не можете, не совершив логической ошибки. Простое, работающее всегда правило.

В нашем случае все такие подмены обосновываются при помощи простого наблюдения: функция $3$ равна числу $3$ при всех значениях аргумента. Грубо говоря, подменяемые понятия действительно взаимозаменяемы благодаря существующей между ними тесной связи.