2 диффура

[NeBotan]

День добрый. Возникла загвостка с двумя диффурами.

Пример 1. $y'+2xy=2xy^2$

Решил сперва однородное уравнение, получил решение $y=Ce^{-x^2}$
Дальше стал решать методом вариации постоянной, получилось, что y=1
Эт так надо или я чего-то недопонял?

Пример 2. $x\ln(xy''')=y'$

Тут вовсе стою-курю, потом что не понимаю, с какого .... начать решение ? Смущает третья производная. А так думал через замену $y'=z\;\; y''=zz'\;\;y'''(z')^2+zz''$

Подскажите пожалуйста направление решений.

[Padawan]

Первое уравнение не линейное. Это уравнение Бернулли, сводится к линейному делением на $y^2$. И вообще, оно с разделяющимися переменными.

[Хорхе]

Во втором $y'=x\ln x +1$ внезапно не подходит. Из этого ничего не выйдет.

[paha]

NeBotan в сообщении #318974 писал(а):

Решил сперва однородное уравнение

Padawan имел ввиду, что нелинейные уравнения так решать нельзя

NeBotan в сообщении #318974 писал(а):

получилось, что y=1

и на камнях растут деревья:))) Конечно, $y=1$ -- прекрасное решение

Padawan в сообщении #318977 писал(а):

И вообще, оно с разделяющимися переменными.

!!!

[ewert]

Padawan в сообщении #318977 писал(а):

Это уравнение Бернулли, сводится к линейному делением на $y^2$.

Всегда ненавидел (и ненавижу, и буду ненавидеть!) подобный подход к бернуллям. Кому нужен способ, единственное достоинство которого (по сравнению с прочими) -- это удлиннение решения на энное к-во символов, не говоря уж о ненужных логических пируэтах?...

Padawan в сообщении #318977 писал(а):

И вообще, оно с разделяющимися переменными.

Да, это типичный глюк во многих задачниках. Задумывалось-то как Бернулли, да, но вот -- зазевалось...

[NeBotan]

первое уравнение решил.

Получил симпатичный ответ $y(x)=\frac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}+C}$
Но с учетом начального условия все равно получается, что частное решение равно
$y=1$

А вот со второй задачей пока никак не получается.

[paha]

NeBotan в сообщении #319115 писал(а):

Получил симпатичный ответ $y(x)=\frac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}+C}$
Но с учетом начального условия все равно получается, что частное решение равно
$y=1$

Это прекрасное решение соответствует случаю $C=0$


если

NeBotan в сообщении #318974 писал(а):

$y'=z$

то чему-чему равно $y'''$?

[Padawan]

ewert в сообщении #319060 писал(а):

Padawan в сообщении #318977 писал(а):

Это уравнение Бернулли, сводится к линейному делением на $y^2$.

Всегда ненавидел (и ненавижу, и буду ненавидеть!) подобный подход к бернуллям. Кому нужен способ, единственное достоинство которого (по сравнению с прочими) -- это удлиннение решения на энное к-во символов, не говоря уж о ненужных логических пируэтах?...

А как они еще решаются? Просветите. Без шуток.

[ewert]

Методом Бернулли. Либо, как ни странно -- методом вариации произвольной постоянной (методы-то эквивалентны). Короче -- ровно так же, как и линейное. За исключением последнего шага, который технически будет чуть-чуть другим; но общие схемы -- совпадают полностью.

[NeBotan]

$y'=z\left [ zz''+(z')^2 \right ]$

А потом еще одну замену $z'=p\;\;\; z''=pp'$ и дальше по бернулли? Правильно я Вас понял?

[NeBotan]

Второй пример.

Делаю замену $y'=z$
Прихожу к уравнению $zz''+(z')^2=\frac{1}{xlnx}$

Делаю еще новую замену $z'=p$
и решаю сперва однородное, потом неоднородное уравнение. И так в обратном порядке добираюсь до изначального примера.

Такой путь решения получается? выхода проще я не увидел...:(

[paha]

NeBotan в сообщении #318974 писал(а):

$x\ln(xz'')=z$

[NeBotan]

я вначале ошибся.

$xlnx*z''=z$

В итоге я нашел z. и даже y.
$y=ln \frac{C_2}{(c-x)^{c_1}}$
но меня смущает большое наличие констант. и то, что z я нашел из однородного уравнения.

[paha]

NeBotan в сообщении #319267 писал(а):

но меня смущает большое наличие констант

Вы имели ввиду "наличие большого количества констант"... Так число констант скалярного д.у. должно быть равно его порядку, так что 3=3, все ок


(решение не проверял)

[NeBotan]

А. ну это успокаивает. смущает только то, что если z я нашел из нормального диффура, то дальше вот уже не решал неоднородное уравнение для z, а сразу перешел к поиску y. вот это наверное, неправильно на корню.

спасибо большое за участие! Респект Вам и уважуха, и хороших выходных!