2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 2 диффура
Сообщение13.05.2010, 16:46 
День добрый. Возникла загвостка с двумя диффурами.

Пример 1. $y'+2xy=2xy^2$

Решил сперва однородное уравнение, получил решение $y=Ce^{-x^2}$
Дальше стал решать методом вариации постоянной, получилось, что y=1 :-(
Эт так надо или я чего-то недопонял?

Пример 2. $x\ln(xy''')=y'$

Тут вовсе стою-курю, потом что не понимаю, с какого .... начать решение ? Смущает третья производная. А так думал через замену $y'=z\;\; y''=zz'\;\;y'''(z')^2+zz''$

Подскажите пожалуйста направление решений.

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение13.05.2010, 16:52 
Первое уравнение не линейное. Это уравнение Бернулли, сводится к линейному делением на $y^2$. И вообще, оно с разделяющимися переменными.

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение13.05.2010, 19:21 
Аватара пользователя
Во втором $y'=x\ln x +1$ внезапно не подходит. Из этого ничего не выйдет.

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение13.05.2010, 20:14 
Аватара пользователя
NeBotan в сообщении #318974 писал(а):
Решил сперва однородное уравнение


Padawan имел ввиду, что нелинейные уравнения так решать нельзя

NeBotan в сообщении #318974 писал(а):
получилось, что y=1


и на камнях растут деревья:))) Конечно, $y=1$ -- прекрасное решение

Padawan в сообщении #318977 писал(а):
И вообще, оно с разделяющимися переменными.

!!!

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение13.05.2010, 21:20 
Padawan в сообщении #318977 писал(а):
Это уравнение Бернулли, сводится к линейному делением на $y^2$.

Всегда ненавидел (и ненавижу, и буду ненавидеть!) подобный подход к бернуллям. Кому нужен способ, единственное достоинство которого (по сравнению с прочими) -- это удлиннение решения на энное к-во символов, не говоря уж о ненужных логических пируэтах?...

Padawan в сообщении #318977 писал(а):
И вообще, оно с разделяющимися переменными.

Да, это типичный глюк во многих задачниках. Задумывалось-то как Бернулли, да, но вот -- зазевалось...

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 00:08 
первое уравнение решил.

Получил симпатичный ответ $y(x)=\frac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}+C}$
Но с учетом начального условия все равно получается, что частное решение равно
$y=1$

А вот со второй задачей пока никак не получается.

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 00:35 
Аватара пользователя
NeBotan в сообщении #319115 писал(а):
Получил симпатичный ответ $y(x)=\frac{e^{-x^2}}{e^{-x^2}+C}$
Но с учетом начального условия все равно получается, что частное решение равно
$y=1$

Это прекрасное решение соответствует случаю $C=0$


если
NeBotan в сообщении #318974 писал(а):
$y'=z$

то чему-чему равно $y'''$?

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 08:29 
ewert в сообщении #319060 писал(а):
Padawan в сообщении #318977 писал(а):
Это уравнение Бернулли, сводится к линейному делением на $y^2$.

Всегда ненавидел (и ненавижу, и буду ненавидеть!) подобный подход к бернуллям. Кому нужен способ, единственное достоинство которого (по сравнению с прочими) -- это удлиннение решения на энное к-во символов, не говоря уж о ненужных логических пируэтах?...

А как они еще решаются? Просветите. Без шуток.

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 09:56 
Методом Бернулли. Либо, как ни странно -- методом вариации произвольной постоянной (методы-то эквивалентны). Короче -- ровно так же, как и линейное. За исключением последнего шага, который технически будет чуть-чуть другим; но общие схемы -- совпадают полностью.

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 10:54 
$y'=z\left [ zz''+(z')^2 \right ]$

А потом еще одну замену $z'=p\;\;\; z''=pp'$ и дальше по бернулли? Правильно я Вас понял?

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 15:15 
Второй пример.

Делаю замену $y'=z$
Прихожу к уравнению $zz''+(z')^2=\frac{1}{xlnx}$

Делаю еще новую замену $z'=p$
и решаю сперва однородное, потом неоднородное уравнение. И так в обратном порядке добираюсь до изначального примера.

Такой путь решения получается? выхода проще я не увидел...:(

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 15:19 
Аватара пользователя
NeBotan в сообщении #318974 писал(а):
$x\ln(xz'')=z$

 
 
 
 to paha
Сообщение14.05.2010, 15:27 
я вначале ошибся.

$xlnx*z''=z$

В итоге я нашел z. и даже y.
$y=ln \frac{C_2}{(c-x)^{c_1}}$
но меня смущает большое наличие констант. и то, что z я нашел из однородного уравнения.

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 15:31 
Аватара пользователя
NeBotan в сообщении #319267 писал(а):
но меня смущает большое наличие констант

Вы имели ввиду "наличие большого количества констант"... Так число констант скалярного д.у. должно быть равно его порядку, так что 3=3, все ок


(решение не проверял)

 
 
 
 Re: 2 диффура
Сообщение14.05.2010, 15:34 
А. ну это успокаивает. смущает только то, что если z я нашел из нормального диффура, то дальше вот уже не решал неоднородное уравнение для z, а сразу перешел к поиску y. вот это наверное, неправильно на корню.

спасибо большое за участие! Респект Вам и уважуха, и хороших выходных!

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group