Параболическое УЧП

[Gortaur]

Есть УЧП

$$ u_t+\frac{1}{2}s^2(t)x^2u_{xx}+u_x-ru=0. $$

Где $u=u(x,t)$. Как его решить или свести к уравнению теплопроводности, может есть идеи?

Оно похоже на уравнениу Блека-Шолза, только в последнем у $u_x$ другой коэффициент

$$ u_t+\frac{1}{2}s^2(t)x^2u_{xx}+rxu_x-ru=0, $$

что позвоояет использовать подстановку $\xi = \log(x)$. В моем случае она не помогает.

[terminator-II]

Чтобы решать нужно иметь представление о начальных/краевых условиях. Ну первое что приходит в голову решение можно искать в виде ряда $u=\sum_{k=0}^\infty u_k(t)x^k$. В классе аналитических по x в нуле эта задача скорее всего корректна при $t\ge 0$. А откуда это взялось? Я интересуюсь подобными задачами.

[Gortaur]

Оценка азиатского опциона.
Первоначальные условия:

$$ u(x,T) = \max(\frac{x}{T}-1,0). $$

Спасибо за совет, попробую. Вообще, у меня после двух подстановок
$v = e^{-rt}u$ и $\xi = x-t$ получилось довольно приятное уравнение

$$ v_t+\frac{1}{2}s^2(t)(\xi+t)^2v_{\xi \xi}=0. $$

С условиями

$$ v(\xi,T) = \frac{e^{rT}}{T}\max(\xi,0). $$

К сожалению, и первоначальное, и полученное уравнения имеют лишь две симметрии, относящиеся к их однородности и линейности. Я сам проверял. Решить последнюю красоту тоже не получается.

[terminator-II]

Gortaur в сообщении #317391 писал(а):

Первоначальные условия:

$$ u(x,T) = \max(\frac{x}{T}-1,0). $$

$t$ изменяется в каких пределах? если в интервале $[0, T]$ то я сливаю воду: это обратная параболичность.

[Gortaur]

В этом интервале. Но можно сделать замену $\tau = T-t$ и будет Вам прямая параболичность. В таком случае можете помочь? :)

[Хорхе]

As far as I see, будет весьма нетривиально. Некие интегралы от логнормальных величин, еще и корелированных... Можно еще было бы повозиться, если б $s$ была постоянна.

[Gortaur]

Можно и сейчас повозиться )) было бы неплохо получить решение этого уравнения хоть в рядах, хоть в интегралах - главное, явное...

Говорят, что последнее уравнение в $u$ - уравнение теплопроводности в анизотропных средах, где распространение тепла зависит и от пространства. Может, знает тут кто об этом?

2Хорхе

Заменой $\eta = \int\limits_0^t\frac{1}{2}s^2(u)\,du$ получим уравнение

$$ u_\eta+(t(\eta)+\xi)^2u_{\xi\xi}=0 $$

[terminator-II]

Gortaur в сообщении #319003 писал(а):

Но можно сделать замену $\tau = T-t$ и будет Вам прямая параболичность.

некорректную задачу превращаем в корректную линейной заменой? ну-ну

Gortaur в сообщении #319003 писал(а):

В таком случае можете помочь? :)

нет не могу. ваш случай безнадежен

[Gortaur]

Задача корректная. При обратной параболичности имеем условия на $t=T$. после моей замены, прямая параболичность и начальные условия. Что не нравится?