2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Параболическое УЧП
Сообщение08.05.2010, 15:33 
Есть УЧП
$$
u_t+\frac{1}{2}s^2(t)x^2u_{xx}+u_x-ru=0.
$$
Где $u=u(x,t)$. Как его решить или свести к уравнению теплопроводности, может есть идеи?

Оно похоже на уравнениу Блека-Шолза, только в последнем у $u_x$ другой коэффициент
$$
u_t+\frac{1}{2}s^2(t)x^2u_{xx}+rxu_x-ru=0,
$$
что позвоояет использовать подстановку $\xi = \log(x)$. В моем случае она не помогает.

 
 
 
 Re: Параболическое УЧП
Сообщение08.05.2010, 16:17 
Чтобы решать нужно иметь представление о начальных/краевых условиях. Ну первое что приходит в голову решение можно искать в виде ряда $u=\sum_{k=0}^\infty u_k(t)x^k$. В классе аналитических по x в нуле эта задача скорее всего корректна при $t\ge 0$. А откуда это взялось? Я интересуюсь подобными задачами.

 
 
 
 Re: Параболическое УЧП
Сообщение09.05.2010, 20:51 
Оценка азиатского опциона.
Первоначальные условия:
$$
u(x,T) = \max(\frac{x}{T}-1,0).
$$

Спасибо за совет, попробую. Вообще, у меня после двух подстановок
$v = e^{-rt}u$ и $\xi = x-t$ получилось довольно приятное уравнение

$$
v_t+\frac{1}{2}s^2(t)(\xi+t)^2v_{\xi \xi}=0.
$$

С условиями
$$
v(\xi,T) = \frac{e^{rT}}{T}\max(\xi,0).
$$

К сожалению, и первоначальное, и полученное уравнения имеют лишь две симметрии, относящиеся к их однородности и линейности. Я сам проверял. Решить последнюю красоту тоже не получается.

 
 
 
 Re: Параболическое УЧП
Сообщение09.05.2010, 22:22 
Gortaur в сообщении #317391 писал(а):
Первоначальные условия:
$$ u(x,T) = \max(\frac{x}{T}-1,0). $$

$t$ изменяется в каких пределах? если в интервале $[0, T]$ то я сливаю воду: это обратная параболичность.

 
 
 
 Re: Параболическое УЧП
Сообщение13.05.2010, 18:20 
В этом интервале. Но можно сделать замену $\tau = T-t$ и будет Вам прямая параболичность. В таком случае можете помочь? :)

 
 
 
 Re: Параболическое УЧП
Сообщение13.05.2010, 18:59 
Аватара пользователя
As far as I see, будет весьма нетривиально. Некие интегралы от логнормальных величин, еще и корелированных... Можно еще было бы повозиться, если б $s$ была постоянна.

 
 
 
 Re: Параболическое УЧП
Сообщение14.05.2010, 15:00 
Можно и сейчас повозиться )) было бы неплохо получить решение этого уравнения хоть в рядах, хоть в интегралах - главное, явное...

Говорят, что последнее уравнение в $u$ - уравнение теплопроводности в анизотропных средах, где распространение тепла зависит и от пространства. Может, знает тут кто об этом?

2Хорхе

Заменой $\eta = \int\limits_0^t\frac{1}{2}s^2(u)\,du$ получим уравнение

$$
u_\eta+(t(\eta)+\xi)^2u_{\xi\xi}=0
$$

 
 
 
 Re: Параболическое УЧП
Сообщение14.05.2010, 21:17 
Gortaur в сообщении #319003 писал(а):
Но можно сделать замену $\tau = T-t$ и будет Вам прямая параболичность.

некорректную задачу превращаем в корректную линейной заменой? ну-ну
Gortaur в сообщении #319003 писал(а):
В таком случае можете помочь? :)

нет не могу. ваш случай безнадежен

 
 
 
 Re: Параболическое УЧП
Сообщение17.05.2010, 17:54 
Задача корректная. При обратной параболичности имеем условия на $t=T$. после моей замены, прямая параболичность и начальные условия. Что не нравится?

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group