Доказать, что идеал не является главным?

[ellipse]

Как, не используя факты о нефакториальности, доказать, что идеал $I=\{aK+bK\}$, где $K=Z[i\sqrt{5}]$, $a=3$, $b=1+2i\sqrt{5}$, не является главным?

[Хорхе]

Картинку нарисовать (кроме шуток).

[neo66]

А можно чуть подробней?

[Хорхе]

Нарисовал

Углы не прямые, так что идеал явно не главный.

[neo66]

Что-то я пока не понял. А где, например, точка $3i\sqrt{5}\in I$? И что там за нецелые точки на оси ординат?

[Ales]

neo66 в сообщении #309233 писал(а):

Что-то я пока не понял. А где, например, точка $3i\sqrt{-5}\in I$? И что там за нецелые точки на оси ординат?

Это как раз они и есть $n3i\sqrt{5}$.

-- Вт апр 13, 2010 23:49:39 --

Надо искать ближайшую к нулю точку (комплексное число). Если бы идеал был главным, то его решетка была бы - прямоугольнички, одна сторона это число, другая оно же, умноженное на $i\sqrt5$.

[neo66]

Ales в сообщении #309237 писал(а):

Надо искать ближайшую к нулю точку (комплексное число). Если бы идеал был главным, то его решетка была бы - прямоугольнички, одна сторона это число, другая оно же, умноженное на $i\sqrt5$.

Пока не понимаю. Возьмем, например, главный идеал $I_1=(1-i\sqrt{5})$. Он описывается решеткой $(m+5n,n-m)$, где $m$ и $n$ - целые. Ну и где там прямоугольнички?

[Ales]

neo66 в сообщении #309247 писал(а):

Пока не понимаю. Возьмем, например, главный идеал $I_1=(1-i\sqrt{-5})$. Он описывается решеткой $(m+5n,n-m)$, где $m$ и $n$ - целые. Ну и где там прямоугольнички?

Нет: кольцо порождено $i\sqrt5=\sqrt{-5}$.

[neo66]

Спасибо, исправил. Но, вопрос остается.

[Хорхе]

neo66 в сообщении #309247 писал(а):

Он описывается решеткой $(m+5n,n-m)$, где $m$ и $n$ - целые. Ну и где там прямоугольнички?

Тут нету, потому что Вы мастерски утаили корень из пяти во второй координате. Честно говоря, не понимаю в чем проблема. Умножение в $\mathbb C$ -- поворотная гомотетия, поэтому, как верно отметил Ales, главный идеал в $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$-- прямоугольная решетка.