Помогите ВЗЯТЬ интеграл

[warezhunter_]

Помогите пожалуйста решить интеграл:
$\int \frac{dx}{e^x+C1}$, где $C1-const$;
Пробую так:
$e^x+C1=t;$
$ x=ln(t-C1);$
$ dx=\frac{1}{t-C1}dt$
Подставляю, получаю интеграл вида:
$\int \frac{dt}{t(t-C1)}$, и вот на нем застрял, не понимаю дальше чего можно сделать.
Крутил его всяко, и по частям, не получается.

[gris]

Разложите на простейшие дроби

$$\dfrac1{t(t-c)}= \dfrac At+\dfrac B{t-c}$$

[warezhunter_]

gris, спасибо за подсказку:
$A(t-C1)+Bt=1;$
$At-A*C1+Bt=1;$
$A+B=0;$
$-A*C1=1;$
$A=-\frac{1}{C1}$
$B=\frac{1}{C1}$
Получаем 2 интеграла, которые легко решаются:
$\int \frac{dt}{t(t-C1)}=-\int \frac{1}{C1*t}dt+\int \frac{1}{C1*(t-C1)}dt$

[ewert]

А вообще-то крайне приятно в подобных случаях домножать числитель и знаменатель на $e^{-x}$, с последующим его загоном под знак дифференциала.

[AKM]

А ещё приятно, когда индекс пишут так: C_1. Получается $C_1$.
И особо приятно, когда интегралы берут, а не "решают". Ибо выражение "решить интеграл" малость неграмотно.
Полагаю, Ваши собеседники не упомянули об этом лишь потому, что уже устали об этом говорить...

Пожалуй, исправлю верхний заголовок, дабы никто пример не брал...

[bot]

AKM в сообщении #251247 писал(а):

дабы никто пример не брал...

Дык, они их и не берут, а тоже просят: решите пример!
Как бы все эти интегралы, матрицы и прочая, прочая разом порешить? Может быть вверху этого раздела поместить краткий FAQ по грамоте?

[gris]

Взял интеграл, попользовался, - положи на место!

[Алексей К.]

Ага. Не помню автора:

~~\\Интегралы не решают.\\ Их берут и возвращают.

[Nikita_b]

ewert в сообщении #251203 писал(а):

А вообще-то крайне приятно в подобных случаях домножать числитель и знаменатель на $e^{-x}$, с последующим его загоном под знак дифференциала.

$\frac {e^x * \, d(e^{-x})} {e^x + C}$
А вот, как дальше действовать, я не совсем понял. Впринцепи можно было бы заменой, но минус в степени числа Эйлера мешает. А как его убрать я не совсем понимаю. Ну кроме, как $\frac {1} {e^x}$, но это только усложнит ситуацию.

[ewert]

Nikita_b в сообщении #306255 писал(а):

А вот, как дальше действовать, я не совсем понял.

Дальше тупо: ${e^x\cdot d(e^{-x})\over e^x+C}={d(e^{-x})\over 1+C\,e^{-x}}$.

Ну и ещё минус потерян.

[Nikita_b]

ewert в сообщении #306257 писал(а):

Nikita_b в сообщении #306255 писал(а):

А вот, как дальше действовать, я не совсем понял.

Дальше тупо: ${e^x\cdot d(e^{-x})\over e^x+C}={d(e^{-x})\over 1+C\,e^{-x}}$.

Ну и ещё минус потерян.

Хм, а куда Вы дели $e^x$ из числителя? Внесли под знак дифференциала? А разве тогда $e^{-x}$ не должно было стать $e^{x-x}$?
Все понял, я дурак, там сократилось просто. Спасибо.

[Nikita_b]

Собственно еще один вопрос, так сказать по основам....
В конспекте нашел взятие интеграла:

$\int \frac {dx^4} {{(x^4 +1)}^{\frac 1 3}} = \frac 3 2 (x^4+1)^{\frac 1 3} + C$
Ну, как получили знаменатель понятно, но там же под корнем все и сразу брать нельзя...

[p51x]

А корень это не степень? А если в знаменателе, то там минус не появляется? А теперь интеграл $\int t^n\,dt$ как взять?

[Nikita_b]

p51x в сообщении #306484 писал(а):

А корень это не степень? А если в знаменателе, то там минус не появляется? А теперь интеграл $\int t^n\,dt$ как взять?

Да, точно. Спасибо.