Изготовления протезов для зубов: Кажется, простая задача ...

[Renaldas]

Уважаемые математики, помогите решить следующую проблему. В нашем стоматологическом ремесле есть способ изготовления протезов для зубов при помощи компьютерного моделирования и вытачивания компьютером управляемым станком.

Итак, хочу чтобы вы рассмотрели следующую ситуацию. Вот примерно так схематически выглядит то, что мы называем коронкой. Зуб стачивается со всех сторон примерно по миллиметру, чтобы то, что осталось от зуба примерно напоминало бы усеченный конус, у десны делается уступ (простоты ради, пускай он будет равен точно 90 град). Вот так это примерно выглядит на продольном разрезе зуба, где красным цветом я отметил, что остается от зуба после его подготовки под коронку.


Спор у нас следующий. Критически важная со стоматологической точки зрения есть точность соответствия изготовленной коронки зубу в регионе уступа, иначе говоря, насколько плотно она прилегает ко всему периметру уступа. Выражают данное число в микронах. Мои оппоненты, прозомбированные маркетологами от стоматологических фирм, утверждают, что можно достичь точности прилегания в месте уступа примерно в 10 микрон.
Отдельно объясню, как стоматологи понимают точность прилегания. Обычно берется несколько произвольных точек на самом краю поверхности уступа зуба и на самом краю коронки, и под микроскопом замеряют, какое расстояние между данными точками образовалось. Потом выводят арифметическое среднее число из количества замеров.
Лично мне больше нравится, когда точностью прилегания коронки к уступу называется самое неточное место, найденное во время замера, так как это более правильно с медицинской точки зрения. Давайте рассмотрим данную задачу при обоих значениях термина "точность прилегания".

Итак, происходит обтачивание зуба в полости рта пациента, это делается борами, близкими к цилиндрической форме, на которых накраплена алмазная крошка диаметром где-то 15-25 микрон (начинают обтачивать более грубыми борами, завершают более гладкими). После этого специальным слепочным материалом снимают слепок, материал достаточно точен, искажениями оного можно пренебречь, они потом могут компенсироваться. По этому оттиску отливают модель из гипса, если мне не изменяет память, то, кажется, гипс имеет величину частичек где-то в 10-20 микрон. Отлитые и обработанные гипсовые модели выглядят примерно вот так. Можно заметить, что они достаточно пористы на микроуровне.


После всего данные модели сканируются и получается виртуальная компьютерная модель, по которой станок, управляемый компьютером, вытачивает недостающую часть зуба. В станке есть несколько боров, диаметров в миллиметр или немного меньше, их зернистости я не знаю.

Скажите, может я чего-то недопонимаю, но как можно при помощи такой системы изготовления коронок достичь щели между коронкой и зубом не более чем в 10 микрон? Разве может быть щель меньше зернистости самого гладкого бора, зернистости гипсовой модели и ее микропористости? Вообще, как компьютер, который управляет бором, диаметром в половину мм или мм выточить на поверхности микрорельеф с точностью в 10 микрон? По-моему, на микроуровне станок будет точить примерно так, как я изобразил на данной схеме, где голубым цветом изображена фреза, желтым - поверхность зуба, а красным - предполагаемые места, которые точильная фреза, будучи очень толстой по сравнению с микронеровностями, величиной в десятки микрон, просто сгладит их. Что говорит об этом мать всех наук - математика?



Вот результат таких работ, стрелкой помечено то место, где, по утверждению коллег, должна быть щель меньше, чем 10 микрон. Даже по фотографии видно, что щель явно больше, не говоря о том, что в некоторых местах коронка немного шире уступа, а в некоторых - немного Уже. Более широкая или более узкая коронка не переходит гладко на зуб, поэтому и для этой величины коллеги утверждают, что достигаются те же самые 10 микрон.

[Sonic86]

Я не великий сварщик, но это Вам надо скорее к физикам обратиться. Они лучше с зернистостью разберутся.

Я это так понимаю. Грубо говоря у вас есть замкнутая кривая основания зуба. Пусть она для простоты плоская и в развернутом виде (т.е. если ее разрезать) выглядит как $y=f(x), x \in [a;b]$. Вы ее пытаетесь приблизить функцией $y=g(x), x \in [a,b]$. Поскольку коронка зуб облегает, то наверное $g(x) \geq f(x)$, хотя м.б. и нет. В общем, Ваши коллеги оценивают точность коронки как $\frac{|g(x_1)-f(x_1)|+|g(x_2)-f(x_2)|+...+|g(x_n)-f(x_n)|}{n}$, здесь $n$ - точность измерений (в идеале тут должен быть интеграл), а Вы оцениваете точность как $\max\limits_{x \in [a;b]}(g(x)-f(x))$. Понятно, что Ваша оценка всегда будет больше первой. И Вы спрашиваете, какая оценка лучше? Так формального критерия для выбора нет. Он зависит от физических процессов разрушения коронки. Я их не знаю. Если коронка (м.б. зуб) быстрее всего разрушается в месте, где коронка сидит наиболее неплотно, то предпочтительнее Ваша оценка, если же это зависит от среднего - то - оценка Ваших коллег.

А про зернистость - при вытачивании по идее зернистость выточенной коронки не должна быть меньше зернистости инструмента (даже если он двигается то по-горизонтали, то по-вертикали, вращается и пр.), только если он очень равномерно и плавно двигается (вращается) и стачивает все одним только наиболее крупным зерном, ну так не бывает.

Еще раз - по-моему лучше у физиков спросить, я точно не знаю.

[vvvv]

Renaldas,ваши рассуждения правдоподобны.
Здесь вам никто не поможет не математики не физики.
Нужно обладать здравым смыслом и уменеием анализировать (умением анализировать математики. действительно, обладают).Видно, что аналитические способности есть и у вас.Никто глубоко вникать в проблему,
наверное, не будет.Так что, больше уверенности в себе.

[Renaldas]

Sonic86 в сообщении #304310 писал(а):

Я не великий сварщик, но это Вам надо скорее к физикам обратиться. Они лучше с зернистостью разберутся.

Я это так понимаю. Грубо говоря у вас есть замкнутая кривая основания зуба. Пусть она для простоты плоская и в развернутом виде (т.е. если ее разрезать) выглядит как $y=f(x), x \in [a;b]$. Вы ее пытаетесь приблизить функцией $y=g(x), x \in [a,b]$. Поскольку коронка зуб облегает, то наверное $g(x) \geq f(x)$, хотя м.б. и нет. В общем, Ваши коллеги оценивают точность коронки как $\frac{|g(x_1)-f(x_1)|+|g(x_2)-f(x_2)|+...+|g(x_n)-f(x_n)|}{n}$, здесь $n$ - точность измерений (в идеале тут должен быть интеграл), а Вы оцениваете точность как $\max\limits_{x \in [a;b]}(g(x)-f(x))$. Понятно, что Ваша оценка всегда будет больше первой. И Вы спрашиваете, какая оценка лучше? Так формального критерия для выбора нет. Он зависит от физических процессов разрушения коронки. Я их не знаю. Если коронка (м.б. зуб) быстрее всего разрушается в месте, где коронка сидит наиболее неплотно, то предпочтительнее Ваша оценка, если же это зависит от среднего - то - оценка Ваших коллег.

А про зернистость - при вытачивании по идее зернистость выточенной коронки не должна быть меньше зернистости инструмента (даже если он двигается то по-горизонтали, то по-вертикали, вращается и пр.), только если он очень равномерно и плавно двигается (вращается) и стачивает все одним только наиболее крупным зерном, ну так не бывает.

Еще раз - по-моему лучше у физиков спросить, я точно не знаю.

А давайте так, скажем, поверхность бора идеально гладкая, как идеально гладкая и поверхность той модельки из гипса, но поверхность уступа на гипсовой модельке, будучи гладкой, не является ровной. Скажем, она как "невысокая" синусойда, где-то выше, где-то ниже. Но вот толщина бора, которым будет управлять компьютер при вытачивании, скажем, 1 мм (или любое другое число). Как подсчитать, какие неровности поверхности такой бор сможет выточить, а какие не сможет ввиду своей крупности?

-- Вт мар 30, 2010 15:07:03 --

vvvv в сообщении #304414 писал(а):

Renaldas,ваши рассуждения правдоподобны.
Здесь вам никто не поможет не математики не физики.
Нужно обладать здравым смыслом и уменеием анализировать (умением анализировать математики. действительно, обладают).Видно, что аналитические способности есть и у вас.Никто глубоко вникать в проблему,
наверное, не будет.Так что, больше уверенности в себе.

Спасибо, но у меня есть огромное желание "заткнуть" данных оппонентов, которые зачастую являются авторитетными лекторами с научными званиями, заангажированными стоматологическими фирмами. А это хочется сделать проффесиональным языком базовой науки, будь то математика или физика.
Одно, уверенность в себе, другое, попытки доказать что-то "дубу" :)

[Gravist]

Renaldas в сообщении #304450 писал(а):

это хочется сделать проффесиональным языком базовой науки, будь то математика или физика. Одно, уверенность в себе, другое, попытки доказать что-то

В этом вопросе ближе, конечно, физики. Математикам пока не сформулирована задача.
Но в любом случае вопрос к Renaldas: коронка сажается "внатяг" или на клей?
Рассматривать надо скольжение двух контактных поверхностей. И оптимизировать/минимизировать разность средних линий обработки зуба и коронки - насколько понял, сильно сжимать зуб тоже нельзя - будет болеть .
Есть-ли на форуме спецы по точной обработке поверхностей и трению? А по допускам и посадкам?
М.б. переименовать бы тему на "Допуски и посадки"?

[Sonic86]

Renaldas писал(а):

А давайте так, скажем, поверхность бора идеально гладкая, как идеально гладкая и поверхность той модельки из гипса, но поверхность уступа на гипсовой модельке, будучи гладкой, не является ровной. Скажем, она как "невысокая" синусоида, где-то выше, где-то ниже. Но вот толщина бора, которым будет управлять компьютер при вытачивании, скажем, 1 мм (или любое другое число). Как подсчитать, какие неровности поверхности такой бор сможет выточить, а какие не сможет ввиду своей крупности?

Так, не очень понятно, что такое неровности... Попробуйте определить понятие "неровности".
Во! Он сможет выточить любую кривую, у которой радиус кривизны не меньше $-R$, где $R$ - радиус бора. То есть любое выпуклое тело он сможет выточить. И он сможет выточить "несильно" невыпуклое тело. Можете представить? Или подробнее описать?
Если я правильно все понял.

Цитата:

не является ровной

это наверное имеется ввиду, что радиус кривизны не постоянный.?

[Renaldas]

Gravist в сообщении #304468 писал(а):

Renaldas в сообщении #304450 писал(а):

это хочется сделать проффесиональным языком базовой науки, будь то математика или физика. Одно, уверенность в себе, другое, попытки доказать что-то

В этом вопросе ближе, конечно, физики. Математикам пока не сформулирована задача.
Но в любом случае вопрос к Renaldas: коронка сажается "внатяг" или на клей?
Рассматривать надо скольжение двух контактных поверхностей. И оптимизировать/минимизировать разность средних линий обработки зуба и коронки - насколько понял, сильно сжимать зуб тоже нельзя - будет болеть .
Есть-ли на форуме спецы по точной обработке поверхностей и трению? А по допускам и посадкам?
М.б. переименовать бы тему на "Допуски и посадки"?

Коронка вообще-то садится на клей, для которого специально создается небольшое депо по всей ее внутренней поверхности за исключением уступа. Понятно, что если промерять зазор после посадки на клей, то он будет еще больше, так как клей будет распределяться слоем, который имеет какую-то толщину. Для начала мне интересно, как будет прилегать по такому протоколу сделанная коронка, если зазор измерить без клея.

-- Ср мар 31, 2010 00:27:14 --

Sonic86 в сообщении #304471 писал(а):

Renaldas писал(а):

А давайте так, скажем, поверхность бора идеально гладкая, как идеально гладкая и поверхность той модельки из гипса, но поверхность уступа на гипсовой модельке, будучи гладкой, не является ровной. Скажем, она как "невысокая" синусоида, где-то выше, где-то ниже. Но вот толщина бора, которым будет управлять компьютер при вытачивании, скажем, 1 мм (или любое другое число). Как подсчитать, какие неровности поверхности такой бор сможет выточить, а какие не сможет ввиду своей крупности?

Так, не очень понятно, что такое неровности... Попробуйте определить понятие "неровности".
Во! Он сможет выточить любую кривую, у которой радиус кривизны не меньше $-R$, где $R$ - радиус бора. То есть любое выпуклое тело он сможет выточить. И он сможет выточить "несильно" невыпуклое тело. Можете представить? Или подробнее описать?
Если я правильно все понял.

Цитата:

не является ровной

это наверное имеется ввиду, что радиус кривизны не постоянный.?

Мне кажется, мы друг друга поняли, но все-таки я проиллюстрирую еще раз. Вот теоретическая поверхность шлифованного зуба, синусойда, расстояние между вершинами синусойды равна диаметру идеально гладкой фрезы. Понятно, что "ямки" в синусойде она выточить не сможет, либо она просто снесет все вершины. Как узнать, какой должен быть диаметр фрезы, чтобы ею можно было бы выточить вот такую теоретическую поверхность?

[Gravist]

Renaldas в сообщении #304725 писал(а):

какой должен быть диаметр фрезы

Есть-ли возможность наклонять фрезу?

[Sonic86]

Ах, у Вас квадратная фреза. Я думал фреза круглая и ей двигать можно как угодно. Если вот она прямоугольная с шириной $d$, а синусоида имеет период $T$, то при $T \leq d$ синусоиду выточить вообще нельзя, а при $T > d$ можно выточить часть синусоиды - верхние горбы, а вот впадины с шириной $l<T$ опять же нельзя. Например, при $T=2d$ можно как раз каждую верхнюю половинку синусоиды выточить.

Я еще какой случай хотел описать. Например, если поверхность ровная, то мы можем фрезу опустить на глубину $h$ в материал, потом ее обратно поднять, перетащить влево на $d + \epsilon$ и снова опустить - вырезать ямку. Получится в результате такой зубчик высотой $h$ и шириной $\epsilon < d$. Но это все в идеальном случае. На самом деле, если фреза зернистая и мы не знаем распределения зерен по фрезе и диаметр зерен $D$, то погрешности при вытачивании у нас сразу будут не меньше $D$.

[AD]

Переношу в общие вопросы,
а также правлю заголовок на более информативный.

[Renaldas]

Gravist в сообщении #304747 писал(а):

Renaldas в сообщении #304725 писал(а):

какой должен быть диаметр фрезы

Есть-ли возможность наклонять фрезу?

Вообще-то, таких точащих систем много, может в какой системе она и может наклоняться ... Давайте пока простоты ради считать, что нельзя, а я уточню у коллег.

-- Ср мар 31, 2010 20:01:17 --

Sonic86 в сообщении #304775 писал(а):

Ах, у Вас квадратная фреза. Я думал фреза круглая и ей двигать можно как угодно. Если вот она прямоугольная с шириной $d$, а синусоида имеет период $T$, то при $T \leq d$ синусоиду выточить вообще нельзя, а при $T > d$ можно выточить часть синусоиды - верхние горбы, а вот впадины с шириной $l<T$ опять же нельзя. Например, при $T=2d$ можно как раз каждую верхнюю половинку синусоиды выточить.

Я еще какой случай хотел описать. Например, если поверхность ровная, то мы можем фрезу опустить на глубину $h$ в материал, потом ее обратно поднять, перетащить влево на $d + \epsilon$ и снова опустить - вырезать ямку. Получится в результате такой зубчик высотой $h$ и шириной $\epsilon < d$. Но это все в идеальном случае. На самом деле, если фреза зернистая и мы не знаем распределения зерен по фрезе и диаметр зерен $D$, то погрешности при вытачивании у нас сразу будут не меньше $D$.

Возможно, фреза не является идеальным цилиндром, но близка к нему. По поводу движений фрезы я уточню у технического персонала, но, кажется, произвольно двигаться она не может.
То, что выточить очень небольшой зубчик можно, это мне понятно, но вот ямку такой же величины, как этот зубчик, выточить нельзя.
Скажите, я так понял, что как ни вертись фреза, части синусойды выточить ею никак не получится, если она цилиндрическая, так? Если же кончик фрезы - полусфера, можно будет выточить больше впадин синусойду, правильно?

Я удочню параметры наиболее расхваленного станка, и мы попробуем определить, какую максимальную точность вытачивания он может дать.

[Renaldas]

Вот, примерно так выглядит процесс, система меняет несколько раз фрезы во время работы. О форме кончиков фрез пока мне толком никто сказать не может, что не удивительно, стоматологам это не интересно совсем ...

Как понимаю, ось фрезы остается неизменной.

http://www.youtube.com/watch?v=G3LKhpE8UXA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=Z6H1lw9MCVs&feature=player_embedded

[Sonic86]

Посмотрел. Ролики впечатляют, хотя во 2-м ролике все по-немецки, поэтому он для меня менее информативен.
Так, ну во первых, я там видел сверло, которое наклоняют (во 2-м ролике).
Во-вторых, у меня дома лежат сверла еще советские для домашних нужд. У них конец не плоский. Если у этих сверл конец плоский, то да - мелкие ямки им не выпилишь, если же он округлый радиуса $R$ - им можно работать точнее - делать ямки с радиусом кривизны не меньше $-R$ (локально впадина синусоиды это $1 - \cos (\omega x) = \frac{\omega ^2 x^2}{2} + O(x^4) $ - окружность радиуса $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$, поэтому синусоиды с $\omega \leq \frac{R}{\sqrt{2}}$ выпиливаются округлой фрезой полностью, а при $\omega > \frac{R}{\sqrt{2}}$ неполностью). Наверняка он круглый. Он может быть даже вогнутый. Хотя лучше, конечно, узнать. Я могу, если надо, точнее написать, какую часть синусоиды можно выпилить плоским, а какую - округлым сверлом, но вообще-то тут все и так очевидно. Это все для вертикальных ямок.
Если сверло наклоняется и ямки наклонные - то описание будет посложнее, но принципиальной разницы вроде не будет.

[Gravist]

Sonic86 в сообщении #305195 писал(а):

Если сверло наклоняется

, то образующую возможно получать кромками цилиндрического инструмента.

[Sonic86]

Gravist писал(а):

Sonic86 писал(а):

Если сверло наклоняется

, то образующую возможно получать кромками цилиндрического инструмента.

Это Вы про плоский случай, когда основание сверла тоже плоское и надо вырезать синусоиду? Да можно кромками, но по-моему там много не нарежешь + сложное описание. Наверное, реально так не делают.