Счётные множества

[Marina]

Помогите, пожалуйста, разобраться с вопросом: Является ли счётным множество целых чисел, не кратных 3.

[mitia87]

Наводящий вопрос: а если бы спросили просто про множество целых чисел?
или если это ничем не поможет:
просто занумеруйте элементы Вашего множества.

[ewert]

Marina в сообщении #301701 писал(а):

Является ли счётным множество целых чисел, не кратных 3.

Является ли оно бесконечным? Является ли оно подмножеством $\mathbb Z$? Является ли $\mathbb Z$ счётным?

[Marina]

Цитата:

Является ли оно бесконечным? Является ли оно подмножеством $\mathbb Z$? Является ли $\mathbb Z$ счётным?

Да, оно является бесконечным; является подмножеством$\mathbb Z$, множество $\mathbb Z$ счётно ($\mathbb N\subset \mathbb Z$). Или я ошибаюсь?

[ewert]

Marina в сообщении #301709 писал(а):

множество $\mathbb Z$ счётно ($\mathbb N\subset \mathbb Z$)

Здесь ошибаетесь: $\mathbb Z$ действительно счётно, но не по этой причине.

Но, так или иначе -- $\mathbb Z$ всё-таки счётно. Теперь делайте выводы.

[Marina]

Т.е. напрашивается вывод, что множество, состоящее из не кратных 3 целых чисел, является подмножеством множества$\mathbb Z$. А раз уж $\mathbb Z$ - счётно, следовательно и счётно его подмножество?

[ewert]

Marina в сообщении #301716 писал(а):

А раз уж $\mathbb Z$ - счётно, следовательно и счётно его подмножество?

В этом рассуждении -- что пропущено?...

[Maslov]

Marina,
$\{-1, 1\} \subset \mathbb Z $
Является ли, по-Вашему, множество $\{-1, 1\}$ счетным?

[Marina]

Maslov Вы спрашиваете

Цитата:

является ли множество $\{-1, 1\}$ счетным?

Конечно, НЕТ.

[Maslov]

Теперь Вы, наверное, сможете ответить на вопрос ewert'а:

ewert в сообщении #301724 писал(а):

Marina в сообщении #301716 писал(а):
А раз уж $\mathbb Z$ - счётно, следовательно и счётно его подмножество?

В этом рассуждении -- что пропущено?...

[Профессор Снэйп]

Marina в сообщении #301737 писал(а):

Maslov Вы спрашиваете

Цитата:

является ли множество $\{-1, 1\}$ счетным?

Конечно, НЕТ.

А это, кстати, где как. Я встречал у вполне уважаемых авторов употребление термина "счётное множество" в смысле "не более чем счётное"

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #301744 писал(а):

Я встречал у вполне уважаемых авторов употребление термина "счётное множество" в смысле "не более чем счётное"

Со мной такое тоже случается. Но вряд ли это относится к данному случаю. Вопрос ведь явно возник при изучении понятия "мощность", причём в самом его начале. В этом месте счётность и конечность принципиально различают.

[Marina]

Значит множество целых чисел не кратных 3 несчётно т.к. подмножество {-1;1} несчётно?

[Maslov]

Marina в сообщении #301767 писал(а):

Значит множество целых чисел не кратных 3 несчётно т.к. подмножество ${-1;1}$ несчётно?

Все не так. Просто для того, чтобы множество было счетным, недостаточно того, чтобы оно было подмножеством счетного множества. Надо еще, чтобы оно не было конечным. А этого Вы в своем рассуждении

Marina в сообщении #301716 писал(а):

А раз уж $\mathbb Z$ - счётно, следовательно и счётно его подмножество?

ну упомянули.

[Marina]

Множество чётных положительных чисел и множество целых чисел счётны, но они, если я правильно понимаю, не содержат конечного числа элементов?