теория множеств

[cK^]

Доказать тождество:

$(A+B)+C=A+(B+C).$

используя метод равносильных преобразований:

$(((A\setminus B)\cup(B\setminus A))\setminus C) \cup(C\setminus ((A\setminus B)\cup(B\setminus A)))=(A\setminus ((B\setminus C)\cup(C\setminus B)))\cup(((B\setminus C)\cup(C\setminus B)) \setminus A), $

$(((A\cap \overline{B})\cup(B\cap \overline{A}))\cap \overline {C}) \cup(C\cap \overline {((A\cap \overline {B})\cup(B\cap \overline{A}))})=(A\cap \overline {((B\cap \overline {C})\cup(C\cap \overline {B}))})\cup(((B\cap \overline {C})\cup(C\cap \overline {B}))\cap \overline {A}),$

$(((A\cap \overline{B})\cup(B\cap \overline{A}))\cap \overline {C}) \cup(C\cap ((\overline {A}\cup B)\cap(\overline {B}\cup A)))=(A\cap (( \overline {B} \cup C)\cap( \overline {C}\cup B)))\cup(((B\cap \overline {C})\cup(C\cap \overline {B}))\cap \overline {A}),$

может быть только строго можно доказать данное тождество?

[ewert]

Это мне напоминает задачу:

"Доказать, что $2\cdot2=4$, используя тот факт, что $((8\cdot7-53)\cdot4)/(4-1)-2\cdot(3-1)=0$."

[RIP]

cK^ в сообщении #300672 писал(а):

может быть только строго можно доказать данное тождество?

Не понял, что это значит.

Вы уже практически всё доказали. Фактически осталось написать одну строчку. Просто "раскройте скобки", пользуясь дистрибутивностью пересечения относительно объедения ($(X\cup Y)\cap Z=(X\cap Z)\cup(Y\cap Z)$) и прочими простейшими свойствами этих операций (типа ассоциативности). Т.е., если неформально, то представьте, что пересечение --- это умножение, а объединение --- сложение.

P.S. Выкладки аккуратно не проверял.

[Профессор Снэйп]

Да ну тут не надо этих утомительных выкладок (которые я даже не стал проверять, ибо лень). Достаточно простого рассуждения.

$x \in X + Y$ тогда и только тогда, когда $x$ принадлежит одному из множеств $X$, $Y$, но не обоим сразу. Нарисуйте табличку из восьми строк, в которой разберите все сочетания возможностей $x \in A$, $x \in B$ и $x \in C$, после чего убедитесь, что произвольный $x$ принадлежит левой части тогда и только тогда, когда он принадлежит правой.

А "равносильные преобразования", которыми Вы пользуетесь... их ведь тоже надо доказывать

[Padawan]

(Оффтоп)

Бывают еще задания типа "при каком условии справедливо равенство?" Я такие задания вот так решал. Правда мнея там обвинили, что я "развращаю юношество". Так и не понял почему.
http://dxdy.ru/post79824.html#p79824

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #300736 писал(а):

Правда мнея там обвинили, что я "развращаю юношество". Так и не понял почему.

Совершенно напрасно обвинили!

Аргументация обвиняющего была такова:

Цитата:

Запросто может быть так, что если что-то общезначимо в некоторой модели (довольно малой мощности), то будет общезначимо и в других моделях.

Между тем легко можно доказать следующее утверждение: тождество булевой сигнатуры верно на произвольной булевой алгебре $\Leftrightarrow$ оно верно на произвольной алгебре множеств $\Leftrightarrow$ оно верно на двухэлементной булевой алгебре (см., например, здесь, стр. 13 -- 14).

В связи с этой теоремой, кстати, и диаграммы Эйлера-Венна, и таблицы являются вполне корректными доказательствами булевых тождеств

-- Пн мар 22, 2010 11:42:54 --

P. S. Что-то я не до конца понял обвинение. Может, там "не" пропущено?

[maxmatem]

да нарисуйте себе диаграммы Эйлера- Венна! и вот вам доказательство! сначала так а потом можете строго доказать! хотя чем эти диаграммы не строгие док-ва?
тем более так проще!

[cK^]

RIP в сообщении #300711 писал(а):

cK^ в сообщении #300672 писал(а):

может быть только строго можно доказать данное тождество?

Не понял, что это значит.

В смысле, как уже отметил Профессор Снэйп, рассуждениями показать, что $(A+B)+C\subseteq A+(B+C), $ затем $A+(B+C)\subseteq(A+B)+C.$ С этим у меня вроде проблем не возникло.

RIP в сообщении #300711 писал(а):

Вы уже практически всё доказали. Фактически осталось написать одну строчку. Просто "раскройте скобки", пользуясь дистрибутивностью пересечения относительно объедения ($(X\cup Y)\cap Z=(X\cap Z)\cup(Y\cap Z)$) и прочими простейшими свойствами этих операций (типа ассоциативности).

$((\overline {C}\cap (A\cap \overline{B}))\cup(\overline {C}\cap(B\cap \overline{A})))\cup(C\cap ((\overline {A}\cup B)\cap(\overline {B}\cup A)))=(A\cap (( \overline {B} \cup C)\cap( \overline {C}\cup B)))\cup((\overline {A}\cap(B\cap \overline {C}))\cup(\overline {A}\cap(C\cap \overline {B}))),$

А что дальше? Не вижу...

Профессор Снэйп в сообщении #300729 писал(а):

А "равносильные преобразования", которыми Вы пользуетесь... их ведь тоже надо доказывать

отдельно доказывал

maxmatem в сообщении #300944 писал(а):

да нарисуйте себе диаграммы Эйлера- Венна! и вот вам доказательство! сначала так а потом можете строго доказать! хотя чем эти диаграммы не строгие док-ва?
тем более так проще!

А разве диаграммы Эйлера-Венна не используются только для наглядности? С них я и начал, в принципе.

[RIP]

cK^ в сообщении #301023 писал(а):

А что дальше? Не вижу...

Вы не донца раскрыли скобки. Я ж говорю, представьте, что пересечение --- это умножение, объединение --- это плюс, а буквы с чёрточками и без --- это переменные (пока). Допуская некие вольности, можно сказать, что в последнем равенстве правая часть имеет вид
$a\overline b\overline c+\overline ab\overline c+c(\overline a+b)(a+\overline b)$.
Видно, что не все скобки раскрыты. Потом ещё придётся вспомнить вещи типа $A\cap\overline A=\varnothing$.

[cK^]

RIP в сообщении #301028 писал(а):

cK^ в сообщении #301023 писал(а):

А что дальше? Не вижу...

Вы не донца раскрыли скобки. Я ж говорю, представьте, что пересечение --- это умножение, объединение --- это плюс, а буквы с чёрточками и без --- это переменные (пока). Допуская некие вольности, можно сказать, что в последнем равенстве правая часть имеет вид
$a\overline b\overline c+\overline ab\overline c+c(\overline a+b)(a+\overline b)$.
Видно, что не все скобки раскрыты. Потом ещё придётся вспомнить вещи типа $A\cap\overline A=\varnothing$.

(Оффтоп)

Только не правая, а левая часть.)

Спасибо, получилось.

Спасибо всем!