Задачи по теории множеств

[*ANNA*]

Добрый день!
Проверьте пожалуйста, верно ли я решила задачи на множества и помогите если кто сможет с тем, что не получается, а то у меня с этой темой постоянные сомнения...

Задача 1.
Докажите, что включения $A \subset B$ и $B \subset A$ выполняются одновременно тогда и только тогда, когда $A = B$.

Решение.
$A \subset B$ $\Rightarrow$ $\forall x \in A \ \exists y \in B$ т., что $x = y$
$B \subset A$ $\Rightarrow$ $\forall y \in B \ \exists x \in A$ т., что $y = x$
Отсюда следует, что количество элементов в обоих множествах одинаково. Так как для любого $x$ из $A$ всегда найдётся равный ему $y$ из $B$ и наоборот, то $A = B$.

Не знаю, надо ли доказывать в обратную сторону (наверное надо):
$A = B$, следовательно $A \subset B$ и $B \subset A$ можно заменить на $A \subset A$, что является верным.

Задача 2.
Докажите, что равенства: 1) $A \cup B = B$; 2) $A \cap B = A$ верны тогда и только тогда, когда $A \subset B$.

Решение.
1) Если $A \cup B = B$, то $\forall x \in A$ выполняется $x \in B$, что по определению есть $A \subset B$.
В обратную сторону: если $A \subset B$, то $\forall x \in A$ выполняется $x \in B$. Не знаю, как дальше прийти к выводу, что $A \cup B = B$
2) Если $A \cap B = A$, то $\forall x \in A$ выполняется $x \in B$, что по определению есть $A \subset B$.
В обратную сторону та же трудность...

Задача 3.
Докажите, что любое непустое множество имеет не менее двух подмножеств.

Решение.
У любого множества всегда есть два несобственных подмножества - это пустое и оно само. Не знаю, является ли это доказательством...

Задача 4.
Докажите, что если $a \in A$, то одноэлементное множество $\{ a \} \subset A$

Решение.
Здесь даже мыслей нет...


Задача 5.
Докажите, что равенство $A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup C$ верно тогда и только тогда, когда $A \supset C.$

Решение.
Тоже не знаю. Получается, здесь нужно сначала понять, какие элементы удовлетворяют равенству и это в итоге должны получиться все $x$ такие, что $x \in C$?

Заранее спасибо за помощь.

[Brukvalub]

*ANNA* писал(а):

В обратную сторону: если $A \subset B$, то $\forall x \in A$ выполняется $x \in B$. Не заню, как дальше прийти к выводу, что $A \subset B$

Зачем доказывать то, что предполагается заранее известным?

*ANNA* писал(а):

Докажите, что любое непустое множество имеет не менее двух подмножеств.

-себя, и пустое множество

*ANNA* писал(а):

Докажите, что если $a \in A$, то одноэлементное множество \{ a \} \subset A

-проверьте определение.

*ANNA* писал(а):

Докажите, что равенство $A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup C$ верно тогда и только тогда, когда $A \supset C.$

Справа налево импликация проверяется стандартно, а слева направо - если предположить противное, то можно построить контрпример.
Решенные задачи - решены верно, но, на мой взгляд, даже излишне подробно.

[*ANNA*]

Brukvalub писал(а):

Зачем доказывать то, что предполагается заранее известным?

Я там немного не то написала, уже исправила

[Brukvalub]

Если элемент входит в объединение двух множеств, то он входит хотя бы в одно из этих множеств, и тогда он входит в большее из этих множеств (меньшее множество - то которое лежит в большем). Поэтому объединение совпадает с большим множеством.

[*ANNA*]

Brukvalub, спасибо за ответы. А вы не подскажете, можно ли доказывать, например, такое утверждение:

$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$, взяв вместо A, B, C конкретные множества, например A = {1,2,3}, B = {4,5,6}, C = {7,8,9}? Или это всё будут лишь частные утверждения, а не доказательство? И можно ли как-нибудь увидеть несовершенство такого "конкретного" подхода, то есть привести пример, в котором, например, для A = {1,2}, B = {3,4} утверждение выполняется, а уже для A = {5,6}, B = {7,8} оно неверно? (Не обязательно на числовых множествах, можно и на любых других).

Ещё раз спасибо.

[Brukvalub]

*ANNA* писал(а):

это всё будут лишь частные утверждения, а не доказательство

Но опровергнуть контрпримером верный факт тоже не удастся. Так что придётся доказывать его в общем виде.

[Padawan]

*ANNA* писал(а):

Brukvalub, спасибо за ответы. А вы не подскажете, можно ли доказывать, например, такое утверждение:

$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$, взяв вместо A, B, C конкретные множества, например A = {1,2,3}, B = {4,5,6}, C = {7,8,9}? Или это всё будут лишь частные утверждения, а не доказательство? И можно ли как-нибудь увидеть несовершенство такого "конкретного" подхода, то есть привести пример, в котором, например, для A = {1,2}, B = {3,4} утверждение выполняется, а уже для A = {5,6}, B = {7,8} оно неверно? (Не обязательно на числовых множествах, можно и на любых других).

Ещё раз спасибо.

Можно. Когда нам давали подобные задания, я их таким способом и проверял . В случае трех множеств надо нарисовать диаграмму Эйлера-Венна и в каждой из областей, на которые разбивается плоскость поставить ровно одному числу. Потом записать A={...}, B={...}, C={...}. Посчитать левую часть , правую и убедиться что получается одно и то же.

Еще были задания такого рода "проверить, что равенство X выполняется тогда и только тогда, когда справедливо равенство Y". Это надо в X посчитать правую часть, левую часть и взять их симметричекую разность (обьединение минус пересечение). Тоже самое делаем с Y. Если получаются в обоих случаях одно и то же, то это и есть доказательство.

Еще бывают задания "проверить, что если X, то Y". Надо в X посчитать правую часть, левую часть, взять их симметричекую разность. Потом из исходных множеств A, B, С выкинуть полученный набор чисел и проверить Y.

В случае четырех и более множеств диаграмму Венна уже не нарисуешь, поэтому приходится нумеровать множества аналитически (на примере трех множеств для краткости)

ABC 1
AB-C 2
A-BC 3
A-B-C 4
-ABC 5
-AB-C 6
-A-BC 7
-A-B-C 8

A={1,2,3,4}, B={1,2,5,6}, C={1,3,5,7}

[Brukvalub]

Вынужден возразить: Вы просто обозначали "куски" множеств символами (цифрами), вопрос же состоял в другом: можно ли доказать равенство множеств, проверив его на одном конкретном примере. Так что ответ все равно один - нельзя.

[Padawan]

Можно, просто этот конкретный пример надо правильно подобрать. Метод , который я описал, хорош тем, что освобождает от необходимости думать и легко может быть запрограммирован.

[luitzen]

Призываю Padawan'a не развращать юношество
Запросто может быть так, что если что-то общезначимо в некоторой модели (довольно малой мощности), то будет общезначимо и в других моделях. Запросто может быть так, что если что-то истинно при некоторых оценках из модели, то оно истинно и при всех других оценках. То и другое можно использовать, но не забывать о том, что мы это используем