помогите, пожалуйста, доказать:

[talian2012]

$(x+y)\sqrt[x+y]{a^2}\le$$x\sqrt[x]a+y\sqrt[y]a$, x>0, y>0, a>0.
мне кажется за неравенством Йенсена, но не знаю какую функцию f подобрать.

[ewert]

Сводится к неравенству $t\,b^{1\over t}+(1-t)\,b^{1\over1-t}\geqslant b^2$ $(\forall\ b>0,\ t\in(0;1))$. А это -- выпуклость функции в левой части и её симметричность относительно точки $t={1\over2}$ (в которой достигается равенство).

[Sasha2]

Да это же тривиальный AM-GM.
$px+qy \ge x^p \cdot y^q$ при $p+q=1$

[talian2012]

ewert в сообщении #300200 писал(а):

Сводится к неравенству $t\,b^{1\over t}+(1-t)\,b^{1\over1-t}\geqslant b^2$ $(\forall\ b>0,\ t\in(0;1))$. А это -- выпуклость функции в левой части и её симметричность относительно точки $t={1\over2}$ (в которой достигается равенство).

а каким образом дойти к этому неравенству?

-- Вс мар 21, 2010 11:39:50 --

Sasha2 в сообщении #300203 писал(а):

Да это же тривиальный AM-GM.
$px+qy \ge x^p \cdot y^q$ при $p+q=1$

что такое "AM-GM"?

[ewert]

talian2012 в сообщении #300214 писал(а):

а каким образом дойти к этому неравенству?

$x+y=z$, ${x\over z}=t$, ${y\over z}=1-t$, $a^{1\over z}=b$.

[Профессор Снэйп]

talian2012 в сообщении #300214 писал(а):

что такое "AM-GM"?

Среднее арифметическое не меньше среднего геометрического

[talian2012]

ну вот, получили неравенство:
$t\,b^{1\over t}+(1-t)\,b^{1\over1-t}\geqslant b^2$ $(\forall\ b>0,\ t\in(0;1))$
Извините, но что дальше я что-то не понимаю...