Теория вероятностей

[nbyte]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решить(проверьте) несколько задач, по теории вероятности.

Первая задача

Цитата:

Если человек болен, то вероятность диагностировать болезнь используя рентген $0.93$.
Вероятность ложно определить болезнь у здорового человека $0.1$.
Допустим, что больные составляют 10% от всех жителей.
Какая вероятность, что человек здоров, если после диагностики он был признан больным?

P.S. никак невышло 10% выразить через $, даже c mathtyp'ом. Интересно узнать как правильно.
Решение
$P(A)$ - вероятность что человек здаров
$P(B)$ - вероятность что здоровый человек признан больным
$P(A|B)= P(A){{P}_{A}}(B)=0.9*0.1=0.09$


Вторая задача

Цитата:

Из числел $1, 2, ..., 33$ невозвращая поочереди вибираются два числа.
Кокая вероятность, что разница между первым и врорым числом будет не меньше 9?
(разница чисел не абсолютная)

Решение
$P(A)$ - вероятность взять первое число $x$ в интервале $9<x<26$
$P(B)$ - вероятность взять второе число $y$ $|x-y|<9$
$P(A|B)= P(A){{P}_{A}}(B)=(17/33)*(18/33)=34/121$


Третия задача

Цитата:

В городе есть две такси компании:
"Быстрая доставка" - 50 белых автомобилей
"Желтый мотор" - 127 желтых автомобилей
На пещеходном переходе автомобиль такси сбил ребёнка и исчез с места преступления.
Единственный свидетель утверждает, что видела желтый автомобиль.
Есть сведения, что в похожих обстоятельствах свидетели правильно указывают цвет автомобиля с вероятностью 0.89.
Какая вероятность, что провинившимся является водитель желтого такси?

Решение
$P(A)$ - вероятность того что это был желтый автомобиль
$P(B)$ - вероятность того что автомобиль был указан правильно
$P(A|B)= P(A){{P}_{A}}(B)=(127/177)*0.89=34/121=0.6385875706$

[faruk]

Всё неправильно.

nbyte в сообщении #297521 писал(а):

$P(B)$ - вероятность что здоровый человек признан больным

Лучше так:

$P(B)$ - вероятность, что человек признан больным

$P(A|B)=\dfrac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$

$P(B) = P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\bar A)\cdot P(\bar A)$

[nbyte]

faruk, спасибо что направили на правильный путь.
Как-то сложновато только укладывается то, что мы имеем дело с двумя событиями. А не с 4 как я раньше думал.

Проверьте меня пожалуйста, хочу быть уверен что ответ правильный
Решение к первой задаче
$(0.9*0.1)/(0.9*0.1+0.1*0.93)=0.49180$
(Во всех задачах мне нужно получить 5 знаков после запятой, без округления)


Решение к второй задаче
$P(A)$ - вероятность взять первое число $x$ в интервале $9<x<26$
$P(B)$ - вероятность $x-y>9$, где $y$ - второе число
$P(A) = 12/33$, числа из интервала $11..23$
$P(B)=(9/33)*(12/33)+(9/33)*(21/33)$
$P_{A}(B)=(12/33)/((9/33)*(12/33)+(9/33)*(21/33))=4/3=$ тут у меня явная ошибка

Решение к третей задаче
$P(A)$ - вероятность того что это был желтый автомобиль
$P(B)$ - вероятность того что автомобиль был указан правильно
$P(B) = (127/177)*0.89 + (50/177)*0.89$
$P_{A}(B)=((127/177)*0.89)/((127/177)*0.89 + (50/177)*0.89)=0.71751$

[faruk]

1. Верно.

2. Короткого решения не знаю.
Если рассматривать все случаи отдельно, то есть для каждого первого числа от 10 до 33, то подробно расписанное решение выглядит так:

$P = \dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{2}{32}+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{3}{32}+...+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{24}{32}$


3.

nbyte в сообщении #297771 писал(а):

$...+ (50/177)*0.89...$

$...+\dfrac{50}{177}\cdot 0,11...$

[nbyte]

Решение к третей задаче
$P(A)$ - вероятность того что это был желтый автомобиль
$P(B)$ - вероятность того что автомобиль был указан правильно
$P(B) = (127/177)*0.89 + (50/177)*0.11$
$P_{A}(B)=((127/177)*0.89)/((127/177)*0.89 + (50/177)*0.11)=0.95359$

faruk в сообщении #297799 писал(а):

2. Короткого решения не знаю.
Если рассматривать все случаи отдельно, то есть для каждого первого числа от 10 до 33, то подробно расписанное решение выглядит так:

$P = \dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{2}{32}+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{3}{32}+...+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{24}{32}$

Я тут не уверен, но мне кажется что можно найти более короткое решение.

А тут точно $1/33$, ведь не каждая первая взятая цифра из $33$, будет иметь вторую с которой разность не меньше?
Может кто-то ещё сможет принять участие в решении?

[gris]

По второй задаче чисто комбинаторное решение.
Всего возможно $32\cdot 33=1056$ равновероятных пар.
Отберём все благоприятные пары. То есть $(10;1),(11;1),(11;2),...,(33;1),(33;1),...(33;24)$. Количество таких пар представляет собой сумму арифметической прогрессии $1+2+3+\cdots+ 24=300$
Ну и разделим.
Между прочим, Вы говорите, что разность не по абсолютной величине, а сами употребляете модуль. Впрочем, из-за симметрии легко получить вероятность и в случае разности по модулю.
А, так это уж faruk предложил. Так куда же проще?

[nbyte]

gris, спасибо Вам за решение.
(там по где модулю оговарился)
Можете только проверить напоследок, правильно-ли я всё понял (очень боюсь ошибиться)

Ответ ко второму $300/1056 = 0.28409$
Ответ к третиму $P_{A}(B)=((127/177)*0.89)/((127/177)*0.89 + (50/177)*0.11)=0.95359$
(Во всех задачах мне нужно получить 5 знаков после запятой, без округления)

[faruk]

nbyte в сообщении #297771 писал(а):

$P(A)$ - вероятность того что это был желтый автомобиль
$P(B)$ - вероятность того что автомобиль был указан правильно

$P(B)$ – вероятность того, что автомобиль будет указан как желтый.

(вероятность того, что автомобиль указан правильно = 0,89)

nbyte в сообщении #298022 писал(а):

Ответ ко второму $300/1056 = 0.28409$
Ответ к третиму $P_{A}(B)=((127/177)*0.89)/((127/177)*0.89 + (50/177)*0.11)=0.95359$

Да.