2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория вероятностей
Сообщение14.03.2010, 15:30 


21/03/09
406
Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решить(проверьте) несколько задач, по теории вероятности.

Первая задача
Цитата:
Если человек болен, то вероятность диагностировать болезнь используя рентген $0.93$.
Вероятность ложно определить болезнь у здорового человека $0.1$.
Допустим, что больные составляют 10% от всех жителей.
Какая вероятность, что человек здоров, если после диагностики он был признан больным?

P.S. никак невышло 10% выразить через $, даже c mathtyp'ом. Интересно узнать как правильно.
Решение
$P(A)$ - вероятность что человек здаров
$P(B)$ - вероятность что здоровый человек признан больным
$P(A|B)= P(A){{P}_{A}}(B)=0.9*0.1=0.09$


Вторая задача
Цитата:
Из числел $1, 2, ..., 33$ невозвращая поочереди вибираются два числа.
Кокая вероятность, что разница между первым и врорым числом будет не меньше 9?
(разница чисел не абсолютная)

Решение
$P(A)$ - вероятность взять первое число $x$ в интервале $9<x<26$
$P(B)$ - вероятность взять второе число $y$ $|x-y|<9$
$P(A|B)= P(A){{P}_{A}}(B)=(17/33)*(18/33)=34/121$


Третия задача
Цитата:
В городе есть две такси компании:
"Быстрая доставка" - 50 белых автомобилей
"Желтый мотор" - 127 желтых автомобилей
На пещеходном переходе автомобиль такси сбил ребёнка и исчез с места преступления.
Единственный свидетель утверждает, что видела желтый автомобиль.
Есть сведения, что в похожих обстоятельствах свидетели правильно указывают цвет автомобиля с вероятностью 0.89.
Какая вероятность, что провинившимся является водитель желтого такси?

Решение
$P(A)$ - вероятность того что это был желтый автомобиль
$P(B)$ - вероятность того что автомобиль был указан правильно
$P(A|B)= P(A){{P}_{A}}(B)=(127/177)*0.89=34/121=0.6385875706$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности
Сообщение14.03.2010, 17:19 
Аватара пользователя


06/01/06
967
Всё неправильно.

nbyte в сообщении #297521 писал(а):
$P(B)$ - вероятность что здоровый человек признан больным

Лучше так:

$P(B)$ - вероятность, что человек признан больным

$P(A|B)=\dfrac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$

$P(B) = P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\bar A)\cdot P(\bar A)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности
Сообщение14.03.2010, 22:04 


21/03/09
406
faruk, спасибо что направили на правильный путь.
Как-то сложновато только укладывается то, что мы имеем дело с двумя событиями. А не с 4 как я раньше думал.

Проверьте меня пожалуйста, хочу быть уверен что ответ правильный
Решение к первой задаче
$(0.9*0.1)/(0.9*0.1+0.1*0.93)=0.49180$
(Во всех задачах мне нужно получить 5 знаков после запятой, без округления)


Решение к второй задаче
$P(A)$ - вероятность взять первое число $x$ в интервале $9<x<26$
$P(B)$ - вероятность $x-y>9$, где $y$ - второе число
$P(A) = 12/33$, числа из интервала $11..23$
$P(B)=(9/33)*(12/33)+(9/33)*(21/33)$
$P_{A}(B)=(12/33)/((9/33)*(12/33)+(9/33)*(21/33))=4/3=$ тут у меня явная ошибка

Решение к третей задаче
$P(A)$ - вероятность того что это был желтый автомобиль
$P(B)$ - вероятность того что автомобиль был указан правильно
$P(B) = (127/177)*0.89 + (50/177)*0.89$
$P_{A}(B)=((127/177)*0.89)/((127/177)*0.89 + (50/177)*0.89)=0.71751$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности
Сообщение14.03.2010, 23:47 
Аватара пользователя


06/01/06
967
1. Верно.

2. Короткого решения не знаю.
Если рассматривать все случаи отдельно, то есть для каждого первого числа от 10 до 33, то подробно расписанное решение выглядит так:

$P = \dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{2}{32}+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{3}{32}+...+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{24}{32}$


3.
nbyte в сообщении #297771 писал(а):
$...+ (50/177)*0.89...$

$...+\dfrac{50}{177}\cdot 0,11...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности
Сообщение15.03.2010, 11:39 


21/03/09
406
Решение к третей задаче
$P(A)$ - вероятность того что это был желтый автомобиль
$P(B)$ - вероятность того что автомобиль был указан правильно
$P(B) = (127/177)*0.89 + (50/177)*0.11$
$P_{A}(B)=((127/177)*0.89)/((127/177)*0.89 + (50/177)*0.11)=0.95359$

faruk в сообщении #297799 писал(а):
2. Короткого решения не знаю.
Если рассматривать все случаи отдельно, то есть для каждого первого числа от 10 до 33, то подробно расписанное решение выглядит так:

$P = \dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{2}{32}+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{3}{32}+...+\dfrac{1}{33}\cdot\dfrac{24}{32}$

Я тут не уверен, но мне кажется что можно найти более короткое решение.

А тут точно $1/33$, ведь не каждая первая взятая цифра из $33$, будет иметь вторую с которой разность не меньше?
Может кто-то ещё сможет принять участие в решении? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности
Сообщение15.03.2010, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
По второй задаче чисто комбинаторное решение.
Всего возможно $32\cdot 33=1056$ равновероятных пар.
Отберём все благоприятные пары. То есть $(10;1),(11;1),(11;2),...,(33;1),(33;1),...(33;24)$. Количество таких пар представляет собой сумму арифметической прогрессии $1+2+3+\cdots+ 24=300$
Ну и разделим.
Между прочим, Вы говорите, что разность не по абсолютной величине, а сами употребляете модуль. Впрочем, из-за симметрии легко получить вероятность и в случае разности по модулю.
А, так это уж faruk предложил. Так куда же проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности
Сообщение15.03.2010, 18:29 


21/03/09
406
gris, спасибо Вам за решение.
(там по где модулю оговарился)
Можете только проверить напоследок, правильно-ли я всё понял (очень боюсь ошибиться)

Ответ ко второму $300/1056 = 0.28409$
Ответ к третиму $P_{A}(B)=((127/177)*0.89)/((127/177)*0.89 + (50/177)*0.11)=0.95359$
(Во всех задачах мне нужно получить 5 знаков после запятой, без округления)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности
Сообщение15.03.2010, 22:54 
Аватара пользователя


06/01/06
967
nbyte в сообщении #297771 писал(а):
$P(A)$ - вероятность того что это был желтый автомобиль
$P(B)$ - вероятность того что автомобиль был указан правильно
$P(B)$ – вероятность того, что автомобиль будет указан как желтый.

(вероятность того, что автомобиль указан правильно = 0,89)


nbyte в сообщении #298022 писал(а):
Ответ ко второму $300/1056 = 0.28409$
Ответ к третиму $P_{A}(B)=((127/177)*0.89)/((127/177)*0.89 + (50/177)*0.11)=0.95359$
Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group