Оценить вероятность...

[vtl]

Исследовательский институт установил, что 27% избирателей поддерживают деятельность исполнительной власти. Из большого числа избирателей для участия в телепередаче случайным образом отобрали 56 человек. Оценить вероятность того, что выбранная доля избирателей, которые поддерживают деятельность исполнительной власти, будет отличаться от данных института больше чем на 7%.

P.S. Знаю неравенство Чебышева $P(|X-M(X)|\geqslant a)\leqslant \frac{D(X)}{a^2}$, и через ф-ию Лапласа $P(|X-a|>\delta)=1-P(|X-a|\leqslant\delta)=1-2\phi(\frac{\delta}{\sigma})$
Не знаю какую формулу использовать; если использовать, то как найти $D(X)$ или $\sigma$ и куда пристроить 56 человек?

[jetyb]

Здесь налицо биномиальное распределение 56 экспериментов с вероятностью успеха 0,27.

[vtl]

Выходит D=npq подставлять в ф-ю Лапласа?

[jetyb]

Ага

[Хорхе]

vtl в сообщении #294580 писал(а):

Выходит D=npq подставлять в ф-ю Лапласа?

В Вашей формуле нет $D$, тем не менее, ответ -- да.

[vtl]

Ясно. Подскажите, когда применяется неравенство Чебышева? Если можно точно посчитать, зачем неравенство?

[jetyb]

Для оценки, что именно и требуется в вашей задаче.
Функцию Лапласа проблемно посчитать без компьютера или таблиц, а оценку Чебышева легко проделать в уме, чтобы, например, оценить сверху вероятность ничего не проиграть казино после месяца игры.

[vtl]

jetyb в сообщении #294595 писал(а):

Для оценки, что именно и требуется в вашей задаче.
Функцию Лапласа проблемно посчитать без компьютера или таблиц, а оценку Чебышева легко проделать в уме, чтобы, например, оценить сверху вероятность ничего не проиграть казино после месяца игры.

аа, в полевых условиях -)
Большое спасибо за помощь

[--mS--]

vtl в сообщении #294588 писал(а):

Ясно. Подскажите, когда применяется неравенство Чебышева? Если можно точно посчитать, зачем неравенство?

Точно посчитать данную вероятность можно только с помощью биномиального распределения. Центральная предельная теорема (теорема Муавра - Лапласа в данном случае) даёт только приближённый ответ. Тем более приближенный, чем дальше число $n=56$ от $+\infty$.

[ewert]

Хорхе в сообщении #294584 писал(а):

vtl в сообщении #294580 писал(а):

Выходит D=npq подставлять в ф-ю Лапласа?

В Вашей формуле нет $D$, тем не менее, ответ -- да.

Как это нет, когда есть $n$, $p$ и $q$?...

jetyb в сообщении #294595 писал(а):

, а оценку Чебышева легко проделать в уме,

Легко, но для практических целей бесполезно: для нормальных распределений (а тут оно достаточно нормально) эта оценка безумно завышена.

[Хорхе]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #294645 писал(а):

Хорхе в сообщении #294584 писал(а):

В Вашей формуле нет $D$, тем не менее, ответ -- да.

Как это нет, когда есть $n$, $p$ и $q$?...

Я имел в виду, конечно же, первый пост. Там во второй формуле $D$ нет.

[vtl]

И снова вопрос: вероятность наступления события в каждом испытании р=0,3, число испытаний n=600. Оценить вероятность наступления события в не меньше как 40 испытаниях.
Решение. Хочется применить интегральную теорему Лапласа, но отмечено, что задача на закон больших чисел. Нашел лемму Маркова: $P(x>a)$\le$M(x)/a, M(x)=np=180, a=40$, выходит грубая оценка. Как оценить?
Может кто подскажет книгу где есть примеры типичных задач на оценку вероятностей и разных там отклонений..?

[--mS--]

vtl в сообщении #335355 писал(а):

И снова вопрос: вероятность наступления события в каждом испытании р=0,3, число испытаний n=600. Оценить вероятность наступления события в не меньше как 40 испытаниях.

Вариантов два - либо теорема Муавра - Лапласа, либо оценка снизу по неравенству Чебышёва.

[Henrylee]

Небольшая подсказка
Из неравенства Чебышева следует

$$ P\{X<n(p-\varepsilon)\}<\frac{pq}{n\varepsilon^2} $$

ну и ...

[vtl]

пытаюсь проследить, откуда оно выходит:
$P(|X-M(X)|<\epsilon)\ge1-D(X)/\epsilon^2$
$P(|X-np|<\epsilon)\ge1-npq/\epsilon^2$
$1-P(|X-np|<\epsilon)\le npq/\epsilon^2$
$P(|X-np|>\epsilon)\le npq/\epsilon^2$
$P(X>\epsilon+np)\le npq/\epsilon^2$
вышла ерунда, не распишите откуда она берется?