2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение26.02.2010, 19:04 


20/04/09
1067
Давайте не будем дифференцировать. Давайте расматривать решение интегрального уравнения. Это результат не изменит.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение26.02.2010, 19:08 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
То же самое, почему почленно интегрировать можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение26.02.2010, 19:09 


20/04/09
1067
потому, что ряд сходится равномерно

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение26.02.2010, 19:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
При фиксированном $z$? Равномерно по $t\in [0,T]$? Это предполагает ограничение на рост коэффициентов $u_k(t)$ вида $\|u_k(t)\|_{[0,T]}\leqslant C_k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение26.02.2010, 19:16 


20/04/09
1067
равномерно по обоеим переменным. Вы действительно хотите чтоб я это доказывал здесь? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение26.02.2010, 19:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Буду признателен. Можно не строго.

-- Пт фев 26, 2010 19:37:54 --

Либо дайте ссылку, где этот пример обсуждается.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение26.02.2010, 19:44 


20/04/09
1067
$\|u(t,\cdot)\|_s=\max_{|z|\le s}|u(t,z)|,\quad s<r$
по определению пространства $C([0,T],H_r)$ будет $\|u(t,\cdot)\|_s\le M_s$ при всех $t\in [0,T]$ .
Следовательно, по известной формуле
$$|u_k(t)|\le \frac{M_s}{s'^k},\quad s'<s$$ при всех $t\in [0,T]$
Таким образом при всех при всех $t\in [0,T]$ и $|z|\le s''<s'$ члены ряда мажорируются геометрической прогрессией.

Padawan в сообщении #292684 писал(а):
Либо дайте ссылку, где этот пример обсуждается.

скорее всего этот пример придумал я

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение27.02.2010, 08:26 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Вот похожая задача:
$$u_t=(1-z)u^2-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}\frac1{1-z}$$
Решение: $u(t,z)=\dfrac 2{(1+\exp (2t))(1-z)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение27.02.2010, 10:05 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
По-моему есть такая теорема: для любой последовательности чисел $c_n$ существует бесконечно дифференцируемая на всей прямой функция, для которой $c_n$ являются тейлоровскими коэффициентами в некоторой точке. Есть ли такая теорема и как она называется?

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение27.02.2010, 10:21 


20/04/09
1067
Padawan в сообщении #292902 писал(а):
По-моему есть такая теорема: для любой последовательности чисел $c_n$ существует бесконечно дифференцируемая на всей прямой функция, для которой $c_n$ являются тейлоровскими коэффициентами в некоторой точке. Есть ли такая теорема и как она называется?

Теорема Бореля. Нарасимхан Анализ на действительных и комплексных многообразиях.
mihiv в сообщении #292888 писал(а):
Вот похожая задача:
$$u_t=(1-z)u^2-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}\frac1{1-z}$$
Решение: $u(t,z)=\dfrac 2{(1+\exp (2t))(1-z)}$

Спасибо, мне это очень приготится. А у Вас точных решений для такого сорта нелинейностей:
$$u_t=(1-z)uu_z-(1-z)^2u_{zz}$$
нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение27.02.2010, 11:35 


20/04/09
1067
mihiv в сообщении #292888 писал(а):
Вот похожая задача:
$$u_t=(1-z)u^2-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}\frac1{1-z}$$
Решение: $u(t,z)=\dfrac 2{(1+\exp (2t))(1-z)}$

вообще-то это чепуха кака-то

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение27.02.2010, 11:59 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Почему чепуха? Уравнению удовлетворяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение27.02.2010, 12:30 


20/04/09
1067
Действительно удовлетворяет. Кажется я дифференцировать разучился.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение27.02.2010, 13:30 
Заслуженный участник


22/01/07
605
В примере Ковалевской уравнение теплопроводности, поэтому там ожидать аналитичности по обеим переменным и не стоит. Для линейных равномерно-параболических уравнений (по-моему, с аналитическими коэффициентами) Петровский доказал, что решения будут для каждого $t$ аналитическими по $x$ и бесконечно дифференцируемыми по $t$. Однако, аналитическими по $t$ они быть не обязаны, взять хотя бы фундаментальное решение.
Это уравнение
$$u_t=(1-z)uu_z-(1-z)^2u_{zz}$$
в окрестности нуля обратно параболическое, однако, если изменить знак времени, оно будет просто параболическим. Нелинейность не должна влиять на аналитичность. Так что все упирается в локальное существование решение в действительном случае: рассматриваем задачу $u_t=(1-x)uu_x-(1-x)^2u_{xx}$, $u[x,0]=1/(1-x)$ на $[-r,r]$. Если есть решение, то оно аналитическое по $x$ и можно заменить $x$ на $z$.

По поводу точных решений есть справочники. Вот такое уравение $u_t=u_{xx}+u_x u$ называется уравнением Бюргерса. Известны замены, сводящие его к уравнению теплопроводности. Может и это как-то упрощается.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о PDE
Сообщение27.02.2010, 15:06 


20/04/09
1067
Gafield в сообщении #292975 писал(а):
В примере Ковалевской уравнение теплопроводности, поэтому там ожидать аналитичности по обеим переменным и не стоит. Для линейных равномерно-параболических уравнений (по-моему, с аналитическими коэффициентами) Петровский доказал, что решения будут для каждого $t$ аналитическими по $x$ и бесконечно дифференцируемыми по $t$. Однако, аналитическими по $t$ они быть не обязаны, взять хотя бы фундаментальное решение.
Это уравнение
$$u_t=(1-z)uu_z-(1-z)^2u_{zz}$$
в окрестности нуля обратно параболическое, однако, если изменить знак времени, оно будет просто параболическим. Нелинейность не должна влиять на аналитичность. Так что все упирается в локальное существование решение в действительном случае: рассматриваем задачу $u_t=(1-x)uu_x-(1-x)^2u_{xx}$, $u[x,0]=1/(1-x)$ на $[-r,r]$. Если есть решение, то оно аналитическое по $x$ и можно заменить $x$ на $z$.

По поводу точных решений есть справочники. Вот такое уравение $u_t=u_{xx}+u_x u$ называется уравнением Бюргерса. Известны замены, сводящие его к уравнению теплопроводности. Может и это как-то упрощается.

Как бы это Вам ээээ объяснить. Спасибо, конечно, что Вы мне напомнили прото, что есть справочники и про то, что читают в урчп на втором курсе. Но вообще-то это немного не по делу.

Теоремы существования, и в частности, резултаты Петровского, формулируются в определенных классах функций, в частности при наличии гран. условий. То, что мы здесь обсуждаем к тем стандартным постановкам отношения не имеет.

Вот например, задача
$$u_t=(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$
не имеет решений в $C([0,T],H_r)$, хотя она и равномерно параболическая при $-1/2\le z\le 1/2$. И результаты Петровского тут ни при чем.
А задача (как Вы говорите обратно параболическая)
$$u_t=-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$
имеет решения в $C([0,T],H_r)$. И эти решения даже и по $t$ будут аналитичны в некотором уголке $0<|Im\, t|<cRe\, t$. Думаю, что доказательство этого утверждения будет полезным для Вас упражнением.

ps
Gafield в сообщении #292975 писал(а):
Нелинейность не должна влиять на аналитичность.

В таком случае Вы можете получить миллион долларов. Ибо именно нелинйность мешает решить задачу тысячелетия. (Navier-Stokes eq.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group