производная интеграла,зависящего от параметра; делта-функция

[g-a-m-m-a]

Пусть $s(t)=\int\limits_0^t\varPhi(t-x)u(x)dx,$ где $u(x)=\sum\limits_{i=0}^nc_i\delta(x-t_i).$ Можно ли производную от $s(t)$ считать по обычным правилам дифференцирования интеграла, зависящего от параметра? То есть
$s'(t)=\varPhi(0)u(t)+\int\limits_0^t\varPhi'_t(t-x)u(x)dx$

[AD]

$s(t)$ - это просто линейная комбинация значений $\Phi$ в некоторых точках. Выписываете явно и считаете производную.

[ewert]

g-a-m-m-a в сообщении #290718 писал(а):

Пусть $s(t)=\int\limits_0^t\varPhi(t-x)u(x)dx,$ где $u(x)=\sum\limits_{i=0}^nc_i\delta(x-t_i).$ Можно ли производную от $s(t)$ считать по обычным правилам дифференцирования интеграла, зависящего от параметра? То есть
$s'(t)=\varPhi(0)u(t)+\int\limits_0^t\varPhi'_t(t-x)u(x)dx$

Можно. Хотя бы потому, что это можно делать для дельта-функций, заменённых на дельтообразные последовательности, а потом сделать предельный переход.