Взбрело в голову неожиданное обоснование математики

[Maslyaev]

Как побочный продукт размышлений над другими вещами неожиданно родилось очень своеобразное обоснование математики.

Человеку свойственно заблуждаться. И поэтому нет ничего удивительного в том, что человеку свойственно сомневаться. И заблуждаться, и сомневаться мы можем в чём угодно – в самих себе, в окружающих, в том, что видим, в том, что слышим, в мудрости мудрецов, в святости святых отцов. Не заблуждаемся и, соответственно, не сомневаемся мы лишь в одном – в том знании, которое нам даёт математика.

Взойдёт ли завтра Солнце – скорее всего да, но возможно всякое. Но квадрат гипотенузы всегда останется равным сумме квадратов катетов, даже если вся Вселенная канет в тартарары. Откуда такая уверенность? Учительница сказала? Мама велела? В красивой толстой книжке написано?

Удивительно получается. Ни один человек не может чётко и внятно объяснить, изучением чего занимается математика, но зато абсолютно все ей безоговорочно доверяют.

Такая безоговорочная уверенность претит духу науки, и поэтому в конце позапрошлого века возникло очень забавное направление исследований – поиск оснований математики. В этом направлении много чего сделано (считайте, что я просто пропустил следующие двести страниц краткого описания истории вопроса), но окончательного, устраивающего всех ответа до сих пор не получено.

Обоснование математики можно искать в самой математике. Можно искать его в теологии. Можно искать его на дне стакана. Я предлагаю искать его в зеркале.

Давайте для начала учтём, что математика создана не глубоководными рыбами, не плотоядными грибами, не марсианскими кристаллами, и не венерианскими ураганами. Как это ни удивительно звучит, но почему-то никто не обратил особого внимания на то, что математика создана и развита нами, людьми. Что в нас, людях, есть такое особенное, что, во-первых, натолкнуло на мысль о том, что рассуждения об абстрактных объектах и формах – это не такое уж бессмысленное времяпровождение, а, во-вторых, смогло поддержать неослабевающий интерес на протяжении многих тысячелетий?
...
Как так получилось, что едва спустившись с пальмы, едва разведя костёр, наши далёкие предки заинтересовались свойствами вещей, которых не существует? Почему этот интерес не ослабевает до сих пор? Попробуем исходить из того, что (пусть это звучит тавтологически) человек интересуется только тем, интересоваться чем свойственно его природе.

Есть две вещи, которые были всегда интересны людям, интересны сейчас и будут интересны впредь. Две вещи, которые всегда берут за душу. Две вещи, без которых не обходится ни одно хорошее художественное произведение. Эти вещи – любовь и справедливость. Я не знаю науку, которая изучает абсолютную любовь, но знаю науку, которая изучает абсолютную справедливость. Это математика.

Продолжение см. здесь.
Хотелось бы услышать ваше мнение по этому поводу.

[migmit]

Текст по уровню слегка не дотягивает до уровня бытового кухонного трёпа. Вследствие этого, годится только для философского журнала, но никак не для математического. Реальные проблемы не озвучены, решения не предложены.

[Maslyaev]

migmit в сообщении #279705 писал(а):

Текст по уровню слегка не дотягивает до уровня бытового кухонного трёпа.

До бытового кухонного, кстати, вполне дотягивает.

migmit в сообщении #279705 писал(а):

Вследствие этого, годится только для философского журнала, но никак не для математического.

Для математического - действительно не годится. Разве что в раздел "бытовой кухонный трёп"

migmit в сообщении #279705 писал(а):

Реальные проблемы не озвучены, решения не предложены.

Как это не озвучена?

Цитата:

Откуда такая уверенность? Учительница сказала? Мама велела? В красивой толстой книжке написано?

И решение предложено. Немножко, конечно, перпендикулярное тому, что все привыкли ожидать. Ну и что? Если что-то не выводится изнутри формальной теории, значит решение нужно искать вовне. Это нам ещё Гёдель велел.

[0101]

На эмоциональном уровне неплохо. Но если сводить основание математики к понятию справедливости то придем к определению справеливости. Или определению истины. А это из области вопросов, которые логически нерешаемы в принципе.

[Sashamandra]

Maslyaev в сообщении #279697 писал(а):

своеобразное обоснование математики

Все же основная мысль автора осталась не раскрытой. Следует ли из справедливости именно классическая математика? А если да, то как? И почему из справедливости не следуют неклассические математики?

[Ales]

Кажется, Автор все запутал. На справедливости должна основываться власть, а не математика. Справедливостью занимаются юристы. Математика - наука о числах и основана на здравом рассудке.

-- Вт янв 12, 2010 15:50:52 --

Но статья, все равно хорошая.

[AD]

Цитата:

В математике много разделов. Бесконечное количество формул. Если применение какой-то формулы к какому-то явлению плохо работает, то это не значит, что формула плохая. Это значит, что мы применили не ту формулу. Если результат сложения двух чисел даёт неверный ответ, то из этого не следует, что сложение должно по-разному работать в разных ситуациях. Может быть, просто нам следовало в данном конкретном случае применить не сложение, а, например, умножение?

Я не особо почитал, но вот это мне понравилось на самом деле. Некоторым тут у нас <_< было бы очень полезно это осознать. Ну типа математика ничего не утверждает о реальном мире, поэтому не может быть "правильной" или "неправильной", в ней не может быть "ошибок", кроме грамматических ну то есть в аксиомах (в предположении непротиворечивости).

Но во флейм я всё-таки это снесу.

_________________
"Это не дотягивает до математики"
© Дж. Литлвуд.

[vek88]

Ales в сообщении #279735 писал(а):

Кажется, Автор все запутал. На справедливости должна основываться власть, а не математика. Справедливостью занимаются юристы. Математика - наука о числах и основана на здравом рассудке.

-- Вт янв 12, 2010 15:50:52 --

Но статья, все равно хорошая.

По поводу справедливости в математике - в широком смысле, математика действительно занимается справедливостью. Иначе зачем в математических текстах мы использовали бы фразы типа "таким образом, справедлива следующая теорема"? Обратите внимание, что сказать вместо этого "таким образом, истинна следующая теорема" как-то не очень хорошо, хотя формально и правильно.

Присоединяюсь к мнению, что статья хорошая. По выражению (кажется, Альберта Швейцера о Фридрихе Ницше) - это свежий ветер, ворвавшийся в нашу затхлую долину.

[Sashamandra]

vek88 в сообщении #279751 писал(а):

Ales в сообщении #279735 писал(а):

математика действительно занимается справедливостью.

Предмет математики должен быть справедливым или же утверждение о предмете математики должно быть справедливым? Это совершенно разные справедливости.

[ewert]

vek88 в сообщении #279751 писал(а):

По поводу справедливости в математике - в широком смысле, математика действительно занимается справедливостью. Иначе зачем в математических текстах мы использовали бы фразы типа "таким образом, справедлива следующая теорема"? Обратите внимание, что сказать вместо этого "таким образом, истинна следующая теорема" как-то не очень хорошо, хотя формально и правильно.

Но зато очень хорошо сказать "таким образом, верна следующая теорема". Следовательно, математика несправедлива к истинности. А как можно заниматься справедливостью несправедливыми средствами? Это несправедливо.

[Maslyaev]

Ну, со справедливостью всё просто. Абсолютно справедливо то, насчёт чего достигнут полный консенсус.
Т.е., находясь в неких рамках, мы считаем некое правило/утверждение правильным. А если считаем неправильным, то мы уже не находимся в этих рамках.
Правила преферанса я могу считать несправедливыми, но если я сел в него играть, я обязан (хотя бы временно) признать их справедливость. Среди играющих правила преферанса абсолютно справедливы и обсуждению не подлежат. Среди всех остальных их справедливость может быть под вопросом.

К сожалению, всеобщего консенсуса можно достигнуть только относительно абстрактных вещей. Всё остальное - и естественные науки, и философия, и религия, и государственное управление, и гражданское право, и т.д. - хоть и претендует иногда на глобальную "область определения", но достичь консенсуса... увы и ах.

Цитата:

Следует ли из справедливости именно классическая математика? А если да, то как? И почему из справедливости не следуют неклассические математики?

И классическая, и неклассическая. Любая.
Самый популярный в математике значок - это не плюс и не минус, а знак равенства. Что такое равенство? Сказать, что это эквивалентность - ничего не сказать. Просто одно слово меняем на его синоним. Равенство - это согласие всех присутствующих в том, что из согласия купить/продать/отдать/получить/подарить/съесть/выкинуть/... то, что находится в левой части автоматически следует согласие сделать то же самое с тем, что находится в правой части. И наоборот.

Цитата:

На справедливости должна основываться власть, а не математика. Справедливостью занимаются юристы. Математика - наука о числах и основана на здравом рассудке.

Ну, про то, что у меня есть подозрение (не более чем подозрение, обосновать не могу), что изначально математика зародилась именно как вспомогательный инструмент, используемый в юридической практике, в статье вроде бы написано...
Власть - она, конечно, должна основываться на справедливости. И она это делает. Как только власть теряет легитимность (т.е. становится несправедливой), она сразу же перестаёт быть властью. Но власть не может достичь абсолютной справедливости. Только относительную. Все в принципе согласны, что вора нужно сажать в тюрьму, но когда дело касается частных случаев, то некоторых хочется лишь пожурить, а некоторых - расстрелять на месте. Нет полного консенсуса.

"Наука о числах..." А понятие "число" основывается на понятие "множество". А понятие "множество" плавно так, ненавязчиво проистекает из одной из базовых операций, реализуемой нашим неокортексом - операции обобщения. Если бы наш рассудок не был основан на этой операции, кто знает, может быть и понятия "число" не возникло бы? Или возникло бы что-то другое?

Цитата:

Предмет математики должен быть справедливым или же утверждение о предмете математики должно быть справедливым? Это совершенно разные справедливости.

Предмет математики. А утверждение о том, что предметом математики является абсолютная справедливость, может и не быть справедливым
В конце концов, друзья, моя статья - не более чем вольная фантазия на ту тему, о которой вот так вот просто взялось и подумалось.

[Sashamandra]

Maslyaev в сообщении #279769 писал(а):

И классическая, и неклассическая. Любая.

Если из системы аксиом можно доказать любое утверждение, то она противоречива.

[Maslyaev]

Sashamandra в сообщении #279773 писал(а):

Если из системы аксиом можно доказать любое утверждение, то она противоречива.

А кто говорит, что система аксиом должна быть единой и монолитной?
То, что истинно в одной системе аксиом, не обязано быть истинным в другой. Логика вывода тоже не обязана быть одной. Весь вопрос в целесообразности.
Сочинить можно сколько угодно математик, каждая из которых по отдельности будет прекрасна и непротиворечива. Только уж больно это будет похоже на графоманию.

[Sashamandra]

Прошу прощения, это я так мягко намекнул по поводу вашей теории.

[Ales]

vek88 в сообщении #279751 писал(а):

По поводу справедливости в математике - в широком смысле, математика действительно занимается справедливостью. Иначе зачем в математических текстах мы использовали бы фразы типа "таким образом, справедлива следующая теорема"? Обратите внимание, что сказать вместо этого "таким образом, истинна следующая теорема" как-то не очень хорошо, хотя формально и правильно.

В таком контексте "справедлива" используется как синоним "верна". А понятие "справедливость" имеет все-таки другой смысл, другую эмоциональную окраску.

Maslyaev в сообщении #279769 писал(а):

А понятие "число" основывается на понятие "множество". А понятие "множество" плавно так, ненавязчиво проистекает из одной из базовых операций, реализуемой нашим неокортексом - операции обобщения. Если бы наш рассудок не был основан на этой операции, кто знает, может быть и понятия "число" не возникло бы? Или возникло бы что-то другое?

Полагаю: число и множество - одно и тоже. Проистекают они не только от операции обобщения, но скорее от нашего существования во времени и пространстве. Число получается при переходе сознания на другой объект, при этом в памяти сохраняется след предшествующего объекта. Цепочки переходов отраженные в нашей памяти - это числа (множества).