Изоморфизм групп GL_n(R) и GL_m(R) при n<>m

[chifa]

Добрый вечер.
Задача: изоморфны ли группы $GL_n(\mathbb{R})$ и $GL_m(\mathbb{R})$ при $n \ne m$?


Я предположил, что они неизоморфны и пусть для определенности $m > n$
$G_1 = GL_n(\mathbb{R}),~G_2 = GL_m(\mathbb{R})$
Рассмотрим группу
$G' = \lbrace $\begin{pmatrix} A&0\\0&E\end{pmatrix}: \det(A) \ne 0\rbrace,~A\,-\,\mbox{матрица порядка}~n \times n$,
$E\,-\,\mbox{единичная матрица порядка}~(m-n) \times (m-n)$
Очевидно, $G_1 \cong G'$. Надо доказать, что $G_2 \ncong G'$, однако, как это сделать, я не знаю.

[Leox]

chifa в сообщении #277699 писал(а):

Добрый вечер.
Задача: изоморфны ли группы $GL_n(\mathbb{R})$ и $GL_m(\mathbb{R})$ при $n \ne m$?


Я предположил, что они неизоморфны и пусть для определенности $m > n$
$G_1 = GL_n(\mathbb{R}),~G_2 = GL_m(\mathbb{R})$
Рассмотрим группу
$G' = \lbrace $\begin{pmatrix} A&0\\0&E\end{pmatrix}: \det(A) \ne 0\rbrace,~A\,-\,\mbox{матрица порядка}~n \times n$,
$E\,-\,\mbox{единичная матрица порядка}~(m-n) \times (m-n)$
Очевидно, $G_1 \cong G'$. Надо доказать, что $G_2 \ncong G'$, однако, как это сделать, я не знаю.

Наверное $G_2 \cong G'$?
Теперь постройте гомоморфизм $G_2$ в $G_1$ и покажите что у него ненулевое ядро.

[chifa]

Leox в сообщении #277725 писал(а):

Наверное $G_2 \cong G'$?

Нет нет, именно $G_2 \ncong G'$, я же предполагаю что они неизоморфны.

Leox в сообщении #277725 писал(а):

Теперь постройте гомоморфизм $G_2$ в $G_1$ и покажите что у него ненулевое ядро.

А что это даст? Пусть этот построенный гомоморфизм не будет являться изоморфизмом, зато, быть может, есть другой гомоморфизм, являющийся изоморфизмом.

[Полосин]

Воспользуйтесь жордановой формой.

[chifa]

Полосин, не могли бы Вы, пожалуйста, осветить свою мысль поподробнее? Воспользоваться жордановой формой для доказательства того, что $G_2 \ncong G'$?

[Полосин]

Попробуйте все-таки сделать сами. Учтите и общие соображения: если бы был изоморфизм, то зачем тогда изучать матрицы? Можно было бы ограничиться числами.

[Leox]

Цитата:

Цитата:

Теперь постройте гомоморфизм $G_2$ в $G_1$ и покажите что у него ненулевое ядро.

А что это даст? Пусть этот построенный гомоморфизм не будет являться изоморфизмом, зато, быть может, есть другой гомоморфизм, являющийся изоморфизмом.

Нет. Если есть гомоморфизм с ненулевым ядром, то изоморфизма уже быть не может,так как тогда( см. теорему об гомоморфизмах групп) существует изоморфизм вашей группы и фактор группы по ядру гомоморфизма.

[chifa]

Leox, вы не совсем правы. Строить нужно сюръективный гомоморфизм, иначе теорема о гомоморфизмах не сработает. Проблема в том, что я уже несколько дней пытаюсь его построить, и не получается. Быть может, у кого-то есть идеи?

[chifa]

Хм, связный вопрос: как доказать утверждение, что если существует инъективный гомоморфизм из $G_1$ в $G_2$, то существует сюръективный гомоморфизм обратно из $G_2$ в $G_1$, и верно ли оно вообще? Ибо существование сюръекции из инъекции вытекает, но будет ли при этом гомоморфизм

[Профессор Снэйп]

Изоморфны ли группы $\langle \mathbb{Q}, + \rangle$ и $\langle \mathbb{Q}^2, + \rangle$?

[Sonic86]

Правильно так?
$\langle \mathbb{Q}^2;+ \rangle$ - линейное пространство над $\mathbb{Q}$ размерности 2. При изоморфизме оно переходит в пространство размерности 2. Но в $\langle \mathbb{Q};+ \rangle$ любое линейное пространство имеет размерность 1. Поэтому неизоморфны.

[Профессор Снэйп]

Да, правильно. Я немного ступил

Можно совсем просто. Пусть $\varphi: \mathbb{Q}^2 \to \mathbb{Q}$ --- изоморфизм и $\varphi(\langle 1,0 \rangle) = p_1/q_1$, $\varphi(\langle 0,1 \rangle) = p_2/q_2$. Тогда в $\mathbb{Q}^2$ справедливо равенство $\langle q_1p_2,0\rangle = \langle 0, p_1q_2 \rangle$. Противоречие.

А вот $\langle \mathbb{R}, + \rangle$ и $\langle \mathbb{R}^2, + \rangle$ изоморфны!

P. S. Вчера со студентом обсуждали на экзамене вопрос о том, что группы $\langle \mathbb{Q}, + \rangle$ и $\langle \mathbb{Q}^2, + \rangle$ элементарно эквивалентны. Он меня спросил, а не будут ли они вообще изоморфны? А я что-то не смог с ходу ответить