Исследование степенного ряда на сходимость

[vanja]

помогите исследовать,пожалуйста
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(3x+n)^n}{n-1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n\left(x+\frac{1}{3}\right)^n}{n-1}$
$a_n=\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n}{n-1}$
$R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n}{n-1}\frac{n}{\left(\frac{1}{3}\right)^n+1}\right|=3$
потом нашлось две точки в которых надо исследовать:
1)$-\frac{10}{3}$
2)$\frac{8}{3}$
вот собственно не получается исследовать, что делать?

[RIP]

vanja в сообщении #275170 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(3x+n)^n}{n-1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n\left(x+\frac{1}{3}\right)^n}{n-1}$

Во-первых, в первой сумме, похоже, опечатка: $3x+n$ вместо $3x+1$. Во-вторых, при $n=1$ слагаемое не определено (деление на нуль). В-третьих, преобразовали Вы неверно.

[vanja]

да и правда опечатка, а вот что делать тогда, если в знаменателе $n-1$ каким способом тогда исследовать

[RIP]

vanja в сообщении #275184 писал(а):

а вот что делать тогда, если в знаменателе $n-1$ каким способом тогда исследовать

Честно говоря, не понял вопрос. Считайте, что суммирование начинается с $n=2$.

[vanja]

ясно, а в преобразовании будет выделено $3^n$?

[RIP]

vanja в сообщении #275191 писал(а):

а в преобразовании будет выделено $3^n$?

Да.

[vanja]

$x=-\frac{4}{3}$
$x=-\frac{2}{3}$ получится что надо будет эти точки исследовать?

[RIP]

vanja в сообщении #275326 писал(а):

$x=-\frac{4}{3}$
$x=-\frac{2}{3}$ получится что надо будет эти точки исследовать?

Нет. Радиус круга сходимости правильный, а вот с центром что-то не то.

[vanja]

а вот кстати не подскажете, откуда берется центр?

[RIP]

Ну, если ряд $\sum a_n(x-x_0)^n$, то центр --- это $x_0$. Чему у нас равен $x_0$?

[vanja]

$\frac{1}{3}$?

[RIP]

Почти.

[vanja]

$-\frac{1}{3}$ тогда наверно

[RIP]

Да. Так какой получается интервал сходимости?

[vanja]

$\left(0;-\frac{2}{3}\right)$?