Пуассоновский процесс... равен гауссовскому?!

[ex-kun]

Глупый, наверное, вопрос, но что-то я туплю.
Итак, пусть есть некоторый пуассоновский процесс с параметром $\lambda$ (например, рождение частиц). Ясно, что пуассоновский процесс - без памяти, и $\xi=\sum\limits_0^n\xi_i$, где $\xi$ - количество частиц за время 1, $\xi_i$, например - за время $\frac{1}{n}$. Ясное дело, $\xi$ имеет пуассоновское распределение.
Теперь посчитаем характеристическую функцию процесса $\xi_ i-\frac{\lambda}{n}$. Аппроксимируем по формуле Тейлора: $\varphi_i(t)=1+itE(\xi_i-\frac{\lambda}{n})-\frac{t^2}{2}E(\xi_i-\frac{\lambda}{n})^2 + o(t^2)= 1-\frac{t^2}{2}\frac{\lambda}{n} + o(t^2)$;
И характеристическая функция $\sum\limits_0^n\xi_i$ будет $(1-\frac{t^2}{2}\frac{\lambda}{n})^n \to e^{-\frac{t^2\lambda}{2}$ - нормальное распределение?! Применил, называется, ЦПТ
Объясните, пожалуйста, в чём ошибка! Может, неправильно отбрасывать $o(t^2)$? Запутался

[--mS--]

ex-kun в сообщении #270998 писал(а):

Объясните, пожалуйста, в чём ошибка! Может, неправильно отбрасывать $o(t^2)$? Запутался

Да, к пределу Вы переходите при $n\to\infty$, тогда как $o(t^2)$ от $n$ не зависит, а о-малым является лишь при $t\to 0$.

(Оффтоп)

Характеристическая функция $\xi_i$ равна $\varphi_i(t)=e^{\frac{\lambda}{n}(e^{it}-1)}$ и при возведении в степень $n$ даёт х.ф. $\xi$.

[ex-kun]

--mS--,　спасибо большое!
Я допустил неточность, но даже если взять $\xi=\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}\xi_0$, где $\xi_0$ распределена так же, как и $\xi$, то хар. ф-я для $\xi_0$ будет $\varphi_0(t)=1-\frac{t^2}{2}\lambda + o(t^2)$, а хар. ф-я для $\xi$ будет ${(\varphi_0(\frac{t}{n}))}^n = ({1-\frac{t^2}{2}\frac{\lambda}{n^2} + o(\frac{t^2}{n^2})})^n$, и тут уже $o(\frac{t^2}{n^2})$ стремится к нулю. Но всё равно это уже не напоминает нормальное распределение. Мироздание устояло

[--mS--]

ex-kun в сообщении #271183 писал(а):

...
а хар. ф-я для $\xi$ будет ${(\varphi_0(\frac{t}{n}))}^n = ({1-\frac{t^2}{2}\frac{\lambda}{n^2} + o(\frac{t^2}{n^2})})^n$

Не будет.
Характеристическая функция суммы $n$ штук одинаковых случайных величин - это не $n$-ая степень х.ф. одной из них, а х.ф. в точке $nt$:
$\varphi_{n\xi}(t) = \varphi_\xi(nt)\neq \left(\varphi_\xi(t)\right)^n$.

[ex-kun]

Цитата:

Не будет.
Характеристическая функция суммы $n$ штук одинаковых случайных величин - это не $n$-ая степень х.ф. одной из них, а х.ф. в точке $nt$:
$\varphi_{n\xi}(t) = \varphi_\xi(nt)\neq \left(\varphi_\xi(t)\right)^n$.

Как так? Я понимаю, это если случайную величину на n умножить - то будет как вы сказали. А я имел в виду не умножение на n, а сумму n независимых случайных величин. В таком случае ведь хар. функции именно умножаются (мат. ожидание произведения независимых сл. величин равно произведению матожиданий)!

[--mS--]

ex-kun в сообщении #271214 писал(а):

Как так? Я понимаю, это если случайную величину на n умножить - то будет как вы сказали. А я имел в виду не умножение на n, а сумму n независимых случайных величин. В таком случае ведь хар. функции именно умножаются (мат. ожидание произведения независимых сл. величин равно произведению матожиданий)!

Каким образом в равенстве $\xi = \frac{1}{n}\sum\limits_1^n \xi_0 (=\frac1n n\xi_0 = \xi_0)$ (???) могут возникнуть независимые случайные величины, да ещё и с таким же распределением, как у $\xi$? Даже если заменить одну и ту же $\xi_0$ на независимые и одинаково распределённые $\xi_i$, всё равно наличие такого разложения возможно только для случайных величин без второго момента, т.к. при наличии второго момента $\mathsf D\frac{1}{n}\sum\limits_1^n \xi_i = \frac{\mathsf D\xi_1}{n}\neq \mathsf D\xi_1$.

[ex-kun]

Могут, в том и суть. Сумма пуассоновских процессов - пуассоновский процесс (с параметром, равным сумме параметров суммируемых процессов), это несложно доказывается. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий (у вас n в числителе нету). И вообще: распределение Пуассона - бесконечно делимое.
Да, конечно, я некорректно написал $\xi_0$ - имел в виду именно одинаково распределённые $\xi_i$

[--mS--]

ex-kun в сообщении #271230 писал(а):

Могут, в том и суть. Сумма пуассоновских процессов - пуассоновский процесс (с параметром, равным сумме параметров суммируемых процессов), это несложно доказывается. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий (у вас n в числителе нету). И вообще: распределение Пуассона - бесконечно делимое.
Да, конечно, я некорректно написал $\xi_0$ - имел в виду именно одинаково распределённые $\xi_i$

Супер Нью-ТВ ))
Ну тогда подробно: пусть $\mathsf D\xi<\infty$ и $\xi = \frac1n\sum\limits_1^n \xi_i$, где $\xi_1,\ldots,\xi_n$ - независимые и одинаково распределенные с.в. с таким же распределением, как у $\xi$. Тогда

$$ \mathsf D\xi=\mathsf D\left(\frac1n\sum\limits_1^n \xi_i\right) = \frac{1}{n^2}\cdot \sum\limits_1^n \mathsf D\xi_i = \frac{1}{n^2}\cdot n \mathsf D\xi_1 = \frac{\mathsf D\xi_1}{n} = \frac{\mathsf D\xi}{n}. $$

Противоречие. Я уж не говорю о том, что при каждом $n$ разложить (даже по распределению) невырожденную случайную величину в среднее арифметическое $n$ штук независимых между собой и одинаково с ней распределённых невозможно не только при конечном втором моменте, но и при конечном первом, т.к. противоречит закону больших чисел. Если распределение среднего арифметическое остаётся неизменным с ростом всех $n$, значит слабый ЗБЧ не выполнен, значит матожидание не существует.

По-моему, у Вас есть непонимание того, что из себя представляют независимые с.в.: Вы подсознательно сумму $\xi_1+\ldots+\xi_n$ представляете себе как $n\cdot\xi_1$.

[Henrylee]

--mS-- в сообщении #271290 писал(а):

Я уж не говорю о том, что при каждом $n$ разложить (даже по распределению) невырожденную случайную величину в среднее арифметическое $n$ штук независимых между собой и одинаково с ней распределённых невозможно не только при конечном втором моменте, но и при конечном первом, т.к. противоречит закону больших чисел.

Болле того, такое распределение всего одно - симметричное распределение Коши.

[ex-kun]

Цитата:

По-моему, у Вас есть непонимание того, что из себя представляют независимые с.в.: Вы подсознательно сумму $\xi_1+\ldots+\xi_n$ представляете себе как $n\cdot\xi_1$.

Да, похоже так и было - глюк есть глюк Всем спасибо!!

[--mS--]

Henrylee в сообщении #271337 писал(а):

Болле того, такое распределение всего одно - симметричное распределение Коши.

(Оффтоп)

Да и оно-то не повсеместно таково Вот 4-е стереотипное издание (1-е - 1999 г.) справочного пособия А.А.Гусак, Е.А.Бричикова "Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач". Минск: ТетраСистемс, 2003. Рецензенты: к.ф.-м.н., профессор А.А.Дадаян, к.ф.-м.н., доцент В.И.Яшкин:



Чур, за двойку в числителе я не отвечаю

[ex-kun]

Ну и чтоб уже расставить точки над и: получается, из самого первого примера следует, что ЦПТ неприменима, когда дисперсия каждой суммируемой величины стремится к нулю, так?

[Henrylee]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #271435 писал(а):

Да и оно-то не повсеместно таково Вот 4-е стереотипное издание (1-е - 1999 г.) справочного пособия А.А.Гусак, Е.А.Бричикова "Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач". Минск: ТетраСистемс, 2003. Рецензенты: к.ф.-м.н., профессор А.А.Дадаян, к.ф.-м.н., доцент В.И.Яшкин:

Спасибо, поржал

[Henrylee]

ex-kun в сообщении #271505 писал(а):

Ну и чтоб уже расставить точки над и: получается, из самого первого примера следует, что ЦПТ неприменима, когда дисперсия каждой суммируемой величины стремится к нулю, так?

поскольку каждое слагаемое зависит от $n$, то у Вас не схема нарастающих сумм, а схема серий. Частичные суммы в схеме серий могут сходится к безгранично делимым распределениям, что у Вас и имеет место (сходимость к Пуассону). А что Вы понимаете под "применимостью ЦПТ"? Если ЦПТ для iid с конечным вторым моментом - то не применима, т.к. у Вас схема серий. Если метод характ-х функций и последнюю хочется разложить , то Вам уже сказали, что отбрасывать члены порядка $o(t^2)$ нельзя (и указали, к чему этот ряд сходится)