Матфизика: дифференцирование обобщенной функции

[Sayid]

Здравствуйте! У меня такая задача:

пусть дана обобщенная функция $ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x^{\frac12} & : x > 0\\ -x^{\frac13} & : x <0 \end{array} \right.$
Нужно ее дважды продифференцировать.

При нахождении первой производной, если я не обсчитался, то результат таков:

$$(f',u) = - (f, u') = \frac12\int_0^{+\infty} x^{-\frac12} u(x) dx - \frac13\int_{-\infty}^0 x^{-\frac23} u(x) dx $$

Дифференцирую второй раз и использую разложение $u(\varepsilon) = u(0) + O(\varepsilon)$:

$$(f'',u) = -(f',u') = \lim_{\varepsilon\to {0_+}} \left( \frac12\frac{u(0)}{\varepsilon^{\frac12}} + O(\varepsilon^{\frac12}) - \frac14\int_\varepsilon^{+\infty} x^{-\frac32} u(x) dx + \frac13\frac{u(0)}{\varepsilon^\frac23} + O(\varepsilon^{\frac13}) -\frac29\int_{-\infty}^\varepsilon x^{-\frac53}u(x)dx \right)$$

Как в данном случае избавиться от особенностей и прийти к ответу?

[shwedka]

По какому учебнику учитесь?

[Sayid]

Владимиров "Уравнения математической физики"

[shwedka]

См. ответ в ЛС

[shwedka]

Продифференцируйте по отдельности каждое слагаемое, следуя образцу у Гельфанда.
Примените несколько раз используемый там трюк
$<F',\phi>=-<F, \phi'>=-<F,(\phi-\phi(0))'>$
и смело интегрируйте по частям.

[shwedka]

$((x^{-1/2}_+)',u)=-(x^{-1/2}_+,u')=-\int_0^\infty x^{-1/2}u'(x)dx$
Далее разделяем на интеграл от 0 до единицы и на все остальное. Со вторым интегралом Вы справились, а для первого имеем
$-\int_0^1 x^{-1/2}u'(x)dx=\int_0^1 x^{-1/2}(u(x)-u(0))'dx=$
$-\lim_{s\to0} \int_s^1 x^{-1/2}(u(x)-u(0))'dx=$
$-1/2\lim_{s\to0}\int_s^1x^{-3/2}(u(x)-u(0))dx+\lim_{s\to\infty}s^{-1/2}(u(s)-u(0))-(u(1)-u(0))$
И все пределы считаются. ПОтом, когда Вы оба интеграла соберете, значение в точке 1 сокоратится.

[Sayid]

Спасибо, сейчас попробую сделать.

[Sayid]

Если не считать того, что ничего не сократилось, да и не понятно, как могло что-то сократиться, получилось. То есть окончательный ответ таков:

$$\frac29 \int_{-\infty}^0 x^{-\frac53}(u(x)-u(0))dx - \frac14 \int_0^{+\infty}x^{-\frac32}(u(x)-u(0))dx + u(1) - \frac53 u(0) + \frac23 u(-1)$$

Хотя, конечно, я мог и ошибиться. Если так, то поправьте меня, пожалуйста.

[shwedka]

здесь уж точно ошибки в арифметике. Проверьте. в окончательной форме значений в единице и минус единице быть не должно. Они сокращаются! Например, значение в единице получается от двух интегралов, с разными знаками.
Посмотрите, как это получается у Гельфанда!

[Sayid]

Я перепроверил. Давайте рассмотрим значение $u(1)$. Я не вижу тех двух интегралов разных знаков, о которых Вы говорите. Изначально у меня есть 2 интеграла: $\frac13 \int_{-\infty}^0 x^{-\frac23}u^{'}(x)dx$ и $-\frac12 \int_0^{+\infty} x^{-\frac12}u^{'}(x)dx$.
Далее я разбил первый в сумму двух интегралов: от -1 до 0 и от $-\infty$ до -1. Аналогично второй - от 0 до 1 и от 1 до $+\infty$. Ко всем интегралам применил подстановку: $u^{'}(x)$ заменил на $(u(x) - u(0))^{'}$. Потом в интегралах по "короткому" промежутку перешел к пределу по $\varepsilon \to 0+$ и проинтегрировал по частям. Именно из этого интегрирования и появились значения в 0 и в -1. При этом не возникало интегралов разных знаков, у которых эти значения $u(x)$ сократились бы... Все действия проделал как в Гельфанде.

[shwedka]

Когда Вы интегрируете по частям в интеграле от $-\infty$ до -1,
то то же значение в -1 вылезает, но с противоположным знаком.

[Sayid]

А зачем интегрировать по частям интегралы по "длинному" промежутку? Разве они уже не подходят?

[shwedka]

Sayid в сообщении #271202 писал(а):

А зачем интегрировать по частям интегралы по "длинному" промежутку? Разве они уже не подходят?

Для того, чтобы избавиться от производных. А как иначе Вы получили Ваше выражение, в котором производных нет.

$$\frac29 \int_{-\infty}^0 x^{-\frac53}(u(x)-u(0))dx - \frac14 \int_0^{+\infty}x^{-\frac32}(u(x)-u(0))dx + u(1) - \frac53 u(0) + \frac23 u(-1)$$

[Sayid]

Да, простите, я немного запутался. Конечно, я интегрировал эти интегралы... Я действительно ошибся в знаках. Теперь ответ выглядит так:

$$\frac29 \int_{-\infty}^0 x^{-\frac53}(u(x)-u(0))dx - \frac14 \int_0^{+\infty}x^{-\frac32}(u(x)-u(0))dx$$

Похоже ли это на правду?

[shwedka]

А вот значение функции $u$ в нуле потерялось.