Пример функции из Соболевсокого пространства H1

[Asmo89]

Здравствуйте.
Задача: Привести пример функции двух переменных из пространства $H^1$, которая не является непрерывной. Где H^1($\Omega$) = \left\{ $f \in L_2($\Omega$) | $\forall \alpha (|\alpha|\leqslant 1), \exists D_\alpha f \in L_2($\Omega$) \right \} $ - пространство Соболева.

Вопрос: Подходит ли такая функция? $f(x,y)=sign(x) + sign(y) $

[neverland]

а разве ${\rm sgn}(x)\,\in\,H^1$?

[Asmo89]

$sgn(x)$ нет
а вот $sgn(x)+sgn(y)$ принадлежит

[PAV]

В учебный раздел

[shwedka]

Asmo89 в сообщении #267808 писал(а):

а вот $sgn(x)+sgn(y)$ принадлежит

Попытайтесь дать доказательство. Думаю, что не получится.
Попытайтесь построить функцию с логарифмической особенностью в точке.

[ewert]

Просто логарифма не хватит -- интеграл от квадрата градиента разойдётся.

Но можно навесить на логарифм достаточно слабенький корень.

Ступеньки, естественно, не помогут, как их ни комбинируй: уж если производная равна дельта-функции -- то дельта-функция и будет, хоть ты тресни.

[Gafield]

Если на корень, станет непрерывной. Надо что-нибудь послабее логарифма, двойной, скажем.

[ewert]

Gafield в сообщении #267980 писал(а):

Если на корень, станет непрерывной.

ну как это корень из логарифма (в смысле модуля, конечно) сможет стать непрерывным в нуле

[Gafield]

а... я не так понял

[ewert]

ну и угу. Я просто попытался уточнить комментарий shwedka, если некстати -- прошу прощения.

[Asmo89]

А функция $ln(\left| x \right|)+ln(\left| y \right|)$ подходит?
Если функцию рассматривать на области $\left| x \right| \leqslant 1$, $\left| y \right| \leqslant 1$
Обобщенные производные по $x$ и по $y$, если я не ошибаюсь равны соответственно $\frac 1 x$ и $\frac 1 y$

[ewert]

да, наверное, но ведь они -- не из Эль-два же.

[Asmo89]

производные или логарифмы? если формально посчитать интегралы от квадратов на отрезке от-1 до 1 то они получаются конечными...

[ewert]

Но ведь Вы же в соболевском пр-ве. Производные тоже обязаны быть из Эль-два.

[Asmo89]

$\int\limits_{-1}^{1} \frac 1 {x^2} dx = -\frac 1 x |\imits_{-1}^{1}= -1 -1 =-2$
Или где-то ошибка?