ряды Лорана

[aVague]

дам сразу 3 задачи : первая
$\frac{e^z+1}{e^z-1}$ разлоить в точках $z=0,\pm2 \pi i$...
$e^z=1+z+... $ не помогает,т.к. ответ $\frac {2}{z-2k\pi i }$

вторая:$\frac{z}{z^2+b^2} $ в точке $Z=\pm ib$
вроде через замену $\omega=z-ib$ получается при разлоении дроби $\frac{\omega+ib}{\omega^2}- \frac{ib(\omega+ib)}{\omega^3}$ это для точки ib ,хотя ответ такой $\frac{-i}{4b} \frac{1}{(z-ib)^2}$

третяя задача :
найти вычеты(-1 -ый коэффииент) для ф-ии
$\frac{z^2}{1+z^4}$

[ewert]

aVague в сообщении #266310 писал(а):

$\frac{e^z+1}{e^z-1}$ разлоить в точках $z=0,\pm2 \pi i$...
$e^z=1+z+... $ не помогает,т.к. ответ $\frac {2}{z-2k\pi i }$

Это не ответ. Впрочем, и вопрос наверняка был не "разложить", а "найти первый член разложения".

Выделить целую часть и найти вычеты (в силу периодичности они одинаковы во всех точках, так что достаточно искать в нуле).

aVague в сообщении #266310 писал(а):

вторая:$\frac{z}{z^2+b^2} $ в точке $Z=\pm ib$
вроде через замену $\omega=z-ib$ получается при разлоении дроби $\frac{\omega+ib}{\omega^2}- \frac{ib(\omega+ib)}{\omega^3}$ это для точки ib ,хотя ответ такой $\frac{-i}{4b} \frac{1}{(z-ib)^2}$

Этот "ответ" уже вообще ни в какие ворота -- невозможно даже догадаться, на какой бы это вопрос. А разложение дроби -- естественно, неверно: знаменатели слева и справа никак не согласуются.

aVague в сообщении #266310 писал(а):

найти вычеты(-1 -ый коэффииент) для ф-ии
$\frac{z^2}{1+z^4}$

Найдите корни знаменателя. Для каждого из них (учитывая, что они простые) $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z_k}{f\over g}={f(z_k)\over g'(z_k)}$.

[aVague]

точно задание звучит так : найти главную часть ряда Лорана в окрестности точки...
для первых двух

-- Вс ноя 29, 2009 15:15:25 --

в тертьей , например, для точки $e^{\pi i/4}$ ответ такой : $\frac{1-i}{4\sqrt{2}}$
из той формулы получается
$f(e^{\pi i/4})=e^{\pi i/2}=cos(\pi/2)+isin(\pi/2)=i$ и $g'(e^{\pi i/4})=1+4e^{3\pi i/4}$
$\frac{f(e^{\pi i/4}}{g'(e^{\pi i/4})}=\frac{i}{1-\frac{3\sqrt{2}}{2}+i\frac{3\sqrt{2}}{2}}$
с ответом опять не сходится

[ewert]

Понятно.

Тогда в первой задаче приведённое Вами разложение экспоненты -- это именно то, что нужно. Просто вынесите в знаменателе $z$ за скобки и учтите, что оставшаяся дробь -- аналитична.

Во второй -- ответ явно неверен, и не может быть верен в принципе. У Вас -- рациональная дробь с только простыми корнями знаменателя; откуда минус вторым степеням взяться-то? И само разложение Вы выписывали явно бессознательно; напишите все действия аккуратно.

-- Вс ноя 29, 2009 16:24:51 --

aVague в сообщении #266345 писал(а):

в тертьей , например, для точки $e^{\pi i/4}$ ответ такой : $\frac{1-i}{4\sqrt{2}}$
из той формулы получается
$f(e^{\pi i/4})=e^{\pi i/2}=cos(\pi/2)+isin(\pi/2)=i$ и $g'(e^{\pi i/4})=1+4e^{3\pi i/4}$
$\frac{f(e^{\pi i/4}}{g'(e^{\pi i/4})=\frac{i}{1-\frac{3\sqrt{2}}{2}+i\frac{3\sqrt{2}}{2}}$
с ответом опять не сходится

это просто потому, что у Вас производная знаменателя неверна. А предлагаемый ответ -- правильный.

[aVague]

ответ второй задачи как раз н совпадает с тем, что получилось у меня : выкладки такие
$\omega=z-ib, z=\omega + ib .$ подставим $\frac{\omega + ib}{\omega ^2+2ib\omega}=\frac{\omega + ib}{\omega^2(1+\frac{2ib}{\omega})}= \frac{\omega + ib}{\omega^2}- \frac{ib(\omega+ib}{\omega ^3}$

-- Вс ноя 29, 2009 16:01:42 --

производая знаменателя как раз равна $4z^3$ тогда ответ $\frac{i}{-2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}}$

[ewert]

aVague в сообщении #266361 писал(а):

$\frac{\omega + ib}{\omega ^2+2ib\omega}=\frac{\omega + ib}{\omega^2(1+\frac{2ib}{\omega})}= \frac{\omega + ib}{\omega^2}- \frac{ib(\omega+ib}{\omega ^3}$

Во второй дроби -- что Вы за скобку-то вынесли? зачем Вам лишние знаменатели?...
А третья разность -- и вовсе на вторую дробь не похожа.

aVague в сообщении #266361 писал(а):

производая знаменателя как раз равна $4z^3$ тогда ответ $\frac{i}{-2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}}$

Это вроде верно. Только Вы совершенно напрасно так быстро расставались с экспонентами. Надо было держать их до самого конца, и убирать -- только после всех сокращений.

[aVague]

ewert в сообщении #266369 писал(а):

aVague в сообщении #266361 писал(а):

$\frac{\omega + ib}{\omega ^2+2ib\omega}=\frac{\omega + ib}{\omega^2(1+\frac{2ib}{\omega})}= \frac{\omega + ib}{\omega^2}- \frac{ib(\omega+ib}{\omega ^3}$

Цитата:

Во второй дроби -- что Вы за скобку-то вынесли? зачем Вам лишние знаменатели?...
А третья разность -- и вовсе на вторую дробь не похожа.

вынес $\omega^2$ в знаменателе,чтобы разложить $\frac {1}{1+\frac{2ib}{\omega}}$ так вроде

-- Вс ноя 29, 2009 17:48:41 --

т.е . $\frac{1}{1+\frac{2ib}{\omega}}=1-\frac{2ib}{\omega}$

2 забыл во втором слагаемом

[ewert]

aVague в сообщении #266408 писал(а):

вынес $\omega^2$ в знаменателе,чтобы разложить $\frac {1}{1+\frac{2ib}{\omega}}$ так вроде

Идея понятна. Беда только в том, что Вы не имеете права раскладывать эту замечательную дробь в окрестности нуля -- ряд для соотв. геометрической прогрессии сходится только при, наоборот, больших $w$.

И не нужно это. Вы несколько бессознательно мыслите.

Чем определяется особенность этой функции в нуле? -- правильно, множителем, дающем ноль в знаменателе. А всё остальное -- заведомо аналитично по $w$ в нуле и, следовательно, раскладывается в ряд по неотрицательным степеням. Из которых в данном случае нас интересует степень лишь нулевая -- учитывая, что делить придётся на первую.

[aVague]

т.е что надо раскладывать - $\frac{\omega + ib}{\omega(\omega+ 2ib)}$
надо разложить $\frac {\omega+ib}{\omega+2ib}$ или ?

получится $\frac {1}{\omega}-\frac{ib}{\omega(\omega+2ib)}$

[ewert]

aVague в сообщении #266459 писал(а):

т.е что надо раскладывать - $\frac{\omega + ib}{\omega(\omega+ 2ib)}$
надо разложить $\frac {\omega+ib}{\omega+2ib}$ или ?

получится $\frac {1}{\omega}-\frac{ib}{\omega(\omega+2ib)}$

Во-первых, в последнем выражении Вы в одном из знаменателей зазевались.

Во-вторых, если уж раскладывать, то не так, а на простейшие, а это Вы обязаны знать (раз уж до этого места добрались -- значит, интегрирование рациональных дробей в Вас уже вдолбили).

В-третьих, всё это в данном случае не нужно. Просто умножьте исходную дробь на $w$ -- получите откровенно аналитичную в нуле функцию. Которая раскладывается по неотрицательным степеням $w$. Причём как минимум нулевой коэффициент этого разложения тривиален -- это попросту значение той функции в нуле. Ну а вам нужны лишь строго отрицательные степени, которые получатся после деления той аналитической функции на $w$ в первой степени...

[aVague]

а я что сделал?
так это все равно , умножать или не умножать на $\omega$

[ewert]

А, да, я не обратил внимания на знак.

Но это не важно. Важно -- что Вы не представляете себе цели, к которой следует стремиться.

Нам нужны не просто произвольные игрища с букаффками. А нужны только такие, которые которые дадут в конце некоторый степенной ряд относительно именно $w$, при маленьких $w$.

Вхождение того $w$ может быть плохим, а может быть хорошим. Хорошее -- это то, которое даёт аналитическую функцию и, следовательно, разложение по неотрицательным степеням $w$. Плохое -- то, которое порождает особенность.

Ну так в этом примере как раз всё и очевидно. Есть очевидно нехороший множитель ${1\over w}$. И есть всё остальное, которое в нуле заведомо аналитично -- и, следовательно, раскладывается в ряд Тейлора (уж какой бы он ни был). Остаётся только формально разложить и формально перемножить.

И напомню: из того ряда Тейлора фактически нас интересует только самое первое слагаемое (т.е. только значение того оставшегося сомножителя в нуле), т.к. все остальные члены разложения после умножения на ${1\over w}$ дадут уже неотрицательные степени $w$, и они уже неинтересны.

[aVague]

$\frac {1}{\omega}(1-\frac{ib}{(\omega+2ib)})$
чем это не разложение?
то же самое я и сделал?
или еще надо $\frac{ib}{(\omega+2ib)};$ разложить?

[ewert]

Пока сойдёт (правда, арифметику я не проверял, лень, но я Вам верю).

Теперь -- выпишите формальное разложение второго сомножителя по степеням $w$ (неотрицательным, естественно). И учтите, что фактически нас интересует только коэффициент при нулевой степени того разложения.

[aVague]

$\frac{ib}{(\omega+2ib)}=1/2(1-\omega/2ib)$
или не так?