Задание линейного пространства и линейного многообразия

[Grobikwazari]

Здравствуйте.
Дана система векторов:
$a_1=(-2,4,-1,3); a_2=(-3,1,1,2); a_3=(5,5,-5,0);$
И вектор сдвига:
$q=(-1,6,-2,4)$
Надо задать СЛУ-ний подпространство:
$W=L(a_1,a_2,...,a_s)$
и линейное многообразие:
$M=W+q$.
Насколько я знаю, надо составить из векторов матрицу, расположив их в столбцах, и справа приписать неизвестные коэффициенты. $(a_1,a_2,a_3$|$x)$
, где $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$.
Затем, упростить матрицу методом Гаусса, и справа получаццо уравнения, фундаментальная система решений которой и будет являться базисом в пространстве $W=L(a_1,a_2,...,a_s)$. У меня получилось так:
$ \left( \begin{array}{cccc} 0 & -5 & 15 & x_1+2x_3\\ 0 & 0 & 0 & x_2+x_3-x_4\\ -1 & 1 & 5 & x_3\\ 0 & 0 & 0 & x_1+x_3+x_4 \end{array} \right) $
Получилось 2 уравнения - 2я и 4я строки. якобы, они и являются той системой, решение которой задает пространство, "эквивалентное" W
Собственно, вопрос состоит в том, каким образом это все можно теоретически обосновать и еще, как задать линейное многообразие. Знаю только, что это многообразие можно задать, как и подпространство, 2мя способами: как лин. оболочку, или как фундаментальную систему решений системы линейных уравнений Ax=b, где $b\neq 0$. В данном примере надо в виде СЛУ.
плиз хелп

[Полосин]

Подпространство, действительно, можно задать двумя способами, двойственными по отношению друг к другу.
Первый способ - через линейную оболочку - насколько я понимаю, ясен. Второй способ (через СЛАУ): пусть $V=L(a_1, ..., a_k)$. Вектор $x=(x_1, ... , x_n)$ принадлежит $V$ тогда и только тогда, когда $x=\alpha_1 a_1+...+\alpha_k a_k$, где $\alpha_i$ - некоторые коэффициенты. Это равенство представляет собой СЛАУ с расширенной матрицей, в которой правая часть - это координаты вектора $x$. Существование коэффициентов $\alpha_i$ равносильно разрешимости этой системы. Исследовав совместность системы методом Гаусса, получим необходимые и достаточные условия ее разрешимости: это будут линейные соотношения относительно $x_1, ... , x_n$. Это и есть искомая система, задающая подпространство $V$.
При решении задач полезно знать оба эти способа, поскольку иногда удобнее первый, а иногда - второй.
Обобщение на многообразия проведите самостоятельно.

[Grobikwazari]

Цитата:

Обобщение на многообразия проведите самостоятельно.

Вектор $x=(x_1, x_2, ..., x_n) \in M \Leftrightarrow x=\sum\limits_{i=1} ^k \alpha_i a_i + q$
, где q - вектор сдвига. Тогда для лин. многообразия расширенная матрица может выглядеть так:
$(a_1, a_2, ..., a_n| x - q)$
ну и далее все то же самое.
Трудности с пониманием вызывают следующие моменты, так сказать.

Полосин в сообщении #266224 писал(а):

Вектор $x=(x_1, ... , x_n)$ принадлежит $V$ тогда и только тогда, когда $x=\alpha_1 a_1+...+\alpha_k a_k$, где $\alpha_i$ - некоторые коэффициенты. Это равенство представляет собой СЛАУ с расширенной матрицей, в которой правая часть - это координаты вектора $x$.

До этого места все понятно. Но

Цитата:

Существование коэффициентов $\alpha_i$ равносильно разрешимости этой системы. Исследовав совместность системы методом Гаусса, получим необходимые и достаточные условия ее разрешимости: это будут линейные соотношения относительно $x_1, ... , x_n$. Это и есть искомая система, задающая подпространство $V$.

Исследовав систему методом Гаусса, я нашел, что система совместна тогда и только тогда, когда напротив нулевых строк в расширенной матрице при решении получившихся уравнений тоже будут нули. Но как эти уравнения, получившиеся справа, связать с пространством? Или это утверждение надо принять за аксиому?

[ewert]

Grobikwazari в сообщении #266284 писал(а):

система совместна тогда и только тогда, когда напротив нулевых строк в расширенной матрице при решении получившихся уравнений тоже будут нули.

Система разрешима тогда и только тогда, когда вектор принадлежит той линейной оболочке. Просто по определению. А он запросто может и не принадлежать.