Помогите найти кривизну

[T-Mac]

$F(x,y)=0$ надо найти кривизну
Помогите плз....не знаю с чего и начать
кривизну надо видимо выразить через производные $F$ по х и y...
заранее спасибо

[ИСН]

Ну а как бы выражалась кривизна, будь кривая задана явной функцией?

[T-Mac]

$ x=x(t) ; y=y(t)$
тогда выражение для кривизны выглядит следующим образом
$k^2= \frac{(y''x'-x''y')^2}{(x'^2+y'^2)^3} $

[ИСН]

Я имел в виду y=y(x). Но так, наверное, тоже можно.

[meduza]

Примени правило дифференцирования неявной функции $y'_x=\dfrac {F'_x(x,y)} {F'_y(x,y)}$. И применить формулу, выражающую кривизну через $y'_x$ и $y''_x$

[Алексей К.]

$ x=x(t),\; y=y(t)$ называется параметрическим заданием кривой [а явное --- это $y=y(x)$ ].

T-Mac в сообщении #265257 писал(а):

тогда выражение для кривизны выглядит следующим образом
$k^2= \frac{(y''x'-x''y')^2}{(x'^2+y'^2)^3} $

Возведение в квадрат либо использование знака модуля в типовых формулах для кривизны плоской кривой вредно и излишне.
Хотя да, встречается, и не только в старых справочниках и учебниках.

[T-Mac]

meduza в сообщении #265266 писал(а):

Примени правило дифференцирования неявной функции $y'_x=\dfrac {F'_x(x,y)} {F'_y(x,y)}$. И применить формулу, выражающую кривизну через $y'_x$ и $y''_x$

А какая формула выражает кривезну через $y'_x$[/math] и $y''_x$?

[meduza]

T-Mac
$k=\dfrac {\left| y'' \right|} {\left( 1+y'^2 \right)^{3/2}}$

Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1

[T-Mac]

а как решить не используя эту формулу, а применяя ту которую я писал выше?

[meduza]

T-Mac в сообщении #265344 писал(а):

а как решить не используя эту формулу, а применяя ту которую я писал выше?

Вы написали точно такую же формулу, но для параметрически заданной функции. Если положите параметр $t=x$, то получите "мою" формулу.

[T-Mac]

а так можно всегда делать?)

[meduza]

T-Mac
А разве это противозаконно? Явную функцию $y=y(x)$ можно записать параметрически: $x=t, y=y(t)$.

[T-Mac]

так у меня то неявно заданная , а из нее не всегда можно получить явную...

[meduza]

Ну, опять вернулись к началу. Читайте выше как дифференцировать неявную функцию. Потом подставляйте это в формулу для кривизны.

[T-Mac]

ок, спасибо, если что я еще спрошу:)

-- Чт ноя 26, 2009 00:27:24 --

а чему кстати вторая производная у по х равна?