Поля сколь угодно большой мощности

[Mathusic]

Возник вопрос. Существует ли поле сколь угодно великой мощности? (про кольца понятно, тем более про группы понятно).
Если вопрос простым, то прошу переместить тему в другой раздел. Спасибо.

[RIP]

Если $I$ --- произвольное множество, то поле рациональных функций от переменных $t_i$, $i\in I$, над полем, скажем, комплексных чисел имеет мощность не меньше $|I|$.

[Mathusic]

RIP в сообщении #262472 писал(а):

Если $I$ --- произвольное множество, то поле рациональных функций от переменных $t_i$, $i\in I$, над полем, скажем, комплексных чисел имеет мощность не меньше $|I|$.

Спасибо. Но есть несколько вопросов.
На $I$ должны быть заданы какие-то операции?
Что такое "поле рациональных функций над полем комплексных чисел"? (то есть это понятно, непонятно при чём здесь $I$)

[RIP]

Mathusic в сообщении #262474 писал(а):

На $I$ должны быть заданы какие-то операции?

Нет. Зачем? Это просто номера переменных.

Mathusic в сообщении #262474 писал(а):

Что такое "поле рациональных функций над полем комплексных чисел"?

Рациональная функция --- это (грубо говоря) отношение двух многочленов. Фраза "над полем комплексных чисел" означает, что коэффициенты этих многочленов --- комплексные числа.

[Mathusic]

RIP в сообщении #262472 писал(а):

Если $I$ --- произвольное множество, то поле рациональных функций от переменных $t_i$, $i\in I$, над полем, скажем, комплексных чисел имеет мощность не меньше $|I|$.

Просто можно было по-разному истолковать.
То есть можно рассматривать функции от "сколь угодно мощного множества переменных".
Но как это формально записать?
Например если одна переменная, то функции вида $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ (да и нужная мощность будет гораздо больше $1$)
Если счётной длины, то $\mathbb{C}^{\infty} \to \mathbb{C}$
А для $I$ получается $\mathbb{C}^{\operatorname{card}I} \to \mathbb{C}$ ??
Да и ещё вот что. Понятно, про "грубое" отношение многочленов. Дя конечного числа переменных это представить легко. Для счётного - в виде формальных степенных рядов (?). А для, скажем, континуального множества переменных? У нас же, множество степеней счётно.
Или это определяется как-то спецобразом??

[RIP]

Mathusic в сообщении #262476 писал(а):

То есть можно рассматривать функции от "сколь угодно мощного множества переменных".

Ну да. Почему нет? Конституция, вроде бы, это не запрещает.

Mathusic в сообщении #262476 писал(а):

Но как это формально записать?

Например, так: $\mathbb C(t_i\mid i\in I)$. Кстати, рациональные функции --- это не функции (т.е. не отображения), а просто некие формальные выражения. Формально можно так сказать. Поле рациональных функций от переменных $t_i$ над неким полем --- это поле отношений (целостного) кольца многочленов от тех же переменных над тем же полем, а многочлены можно рассматривать как алгебру с базисом $\prod_{i\in I}t_i^{n_i}$, где в произведении $n_i\in\mathbb N_0$ и $n_i=0$ для всех $i\in I$, кроме конечного числа (операции определяются естественным образом).

Mathusic в сообщении #262476 писал(а):

(да и нужная мощность будет гораздо больше $1$)

Если нужна мощность ровно $|I|$, то можно взять конечное поле (если $I$ бесконечно). Вообще, если $F$ --- поле, $I\ne\varnothing$ --- множество, $t_i$ ($i\in I$) --- независимые переменные, то $|F(t_i\mid i\in I)|=\max\{\aleph_0,|F|,|I|\}$, если я не нагнал.

-- Пн 16.11.2009 05:21:39 --

Mathusic в сообщении #262476 писал(а):

Для счётного - в виде формальных степенных рядов (?).

Это не так даже для двух переменных (как Вы разложите в ряд $\frac1{x+y}$?).

-- Пн 16.11.2009 05:30:38 --

Если неформально, то можно так сказать. Вот у нас есть какое-то поле $F$. Мы усилием воли берём и добавляем к нему новые элементы $t_i$, а также всё, что получается из $F\cup\{t_i\mid i\in I\}$ с помощью применения конечного числа операций суммы, разности, умножения и деления.

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #262470 писал(а):

Возник вопрос. Существует ли поле сколь угодно великой мощности?

Если теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет модели больше любой наперёд заданной мощности Классический теоретико-модельный результат, не так давно студентов этим на семинарах мучил.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #262487 писал(а):

Mathusic в сообщении #262470 писал(а):

Возник вопрос. Существует ли поле сколь угодно великой мощности?

Если теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет модели больше любой наперёд заданной мощности Классический теоретико-модельный результат, не так давно студентов этим на семинарах мучил.

На логику смахивает (а какой семинар? неужто алгебра её величество?), в которой не силён.

-- Пн ноя 16, 2009 10:25:37 --

RIP в сообщении #262480 писал(а):

Mathusic в сообщении #262476 писал(а):
То есть можно рассматривать функции от "сколь угодно мощного множества переменных".
Ну да. Почему нет? Конституция, вроде бы, это не запрещает.

Да, это было утверждение.

RIP в сообщении #262480 писал(а):

Mathusic в сообщении #262476 писал(а):
Для счётного - в виде формальных степенных рядов (?).
Это не так даже для двух переменных (как Вы разложите в ряд ?).

Здесь Вы меня не так поняли. Имел ввиду отношение формальных рядов. Но это не важно.

RIP в сообщении #262480 писал(а):

Если неформально, то можно так сказать. Вот у нас есть какое-то поле . Мы усилием воли берём и добавляем к нему новые элементы , а также всё, что получается из с помощью применения конечного числа операций суммы, разности, умножения и деления.

Очень неплохая идея, только опять же не понятно как определять операции (и почему это возможно) с новыми элементами. Но это не важно.

RIP в сообщении #262480 писал(а):

Кстати, рациональные функции --- это не функции (т.е. не отображения), а просто некие формальные выражения. Формально можно так сказать. Поле рациональных функций от переменных над неким полем --- это поле отношений (целостного) кольца многочленов от тех же переменных над тем же полем, а многочлены можно рассматривать как алгебру с базисом , где в произведении и для всех , кроме конечного числа (операции определяются естественным образом).

Про рацфункции понял, спасибо (главное - то и надо было сказать, что не отображение).
Тогда еще вопрос.
Получается, что мощность кольца многочленов будет равна "нужной" мощности (если поле отношений рассмотреть как декартов квадрат).

[PAV]

Перенесено из дискуссионного раздела в "Помогите решить/разобраться"

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #262499 писал(а):

На логику смахивает

Она самая Соответственно и семинар по мат. логике.