Док-во соотношения для члена формулы Тэйлора

[amiable]

Доброго времени суток!
Доказать, что для $f \in C^{(s)}(A)$ из
$\frac{1}{s!}f^{(s)}(\vec{x})\vec{a}^s=o(\|\vec{a}\|^s)$, $\vec{a}\rightarrow\vec{0}$
следует, что
$\forall 1\le i_1, ..., i_s \le m$:
${\partial^s f(x)\over\partial x_{i_1} ... \partial x_{i_s}}=0$

Если устремить $\vec{a}$ к нулю так, чтобы ненулевой была единственная координата, то можно получить, что в s-мерной матрице $f^{(s)}(\vec{x})$ все элементы главной диагонали равны 0. После я предположил, что можно такими способами задать компоненты $\vec{a}$, чтобы после предельного перехода для элементов $f^{(s)}(\vec{x})$ получилась заведомо определённая система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой частью, и тогда компоненты матрицы должны были бы быть равными нулю. Но пока я не придумал, как это сделать. Может, есть другой способ?

Спасибо за помощь.

[TOTAL]

Подставляйте вектор $\vec{a}=(1,t,t^2, \cdots, t^{m-1})$ и устремляйте $t$ к нулю.

[amiable]

TOTAL в сообщении #260809 писал(а):

Подставляйте вектор $\vec{a}=(1,t,t^2, \cdots, t^{m-1})$ и устремляйте $t$ к нулю.

Такой вектор не стремится к нулевому! $\vec{a}\rightarrow\vec{0}$

[TOTAL]

amiable в сообщении #260818 писал(а):

Такой вектор не стремится к нулевому!

Стремление к нулю здесь ни при чем.
В условиях задачи, результат действия оператора $f^{(s)}$ на любой вектор равен нулю.

Если же непременно хочется стремления к нулю, каждую компоненту умножайте на $t$

[amiable]

TOTAL в сообщении #260825 писал(а):

amiable в сообщении #260818 писал(а):

Такой вектор не стремится к нулевому!

Стремление к нулю здесь ни при чем.
В условиях задачи, результат действия оператора $f^{(s)}$ на любой вектор равен нулю.

Если же непременно хочется стремления к нулю, каждую компоненту умножайте на $t$

Но если $\vec{a}$ не стремится к нулевому, как же тогда воспользоваться заданным соотношением
$\frac{1}{s!}f^{(s)}(\vec{x})\vec{a}^s=o(\|\vec{a}\|^s)$, $\vec{a}\rightarrow\vec{0}$?

Кроме того, я все ещё не вполне понимаю, как при таком значении получить, что все компоненты равны нулю? Нужно ли для этого переставлять компоненты в $\vec{a}=(t, t^2, t^3, ..., t^n)$? По-моему, охватить все элементы s-мерной матрицы всё равно не получается. Я с умножением s-мерных матриц на вектор ещё не сталкивался, поэтому никак не могу сообразить.

[amiable]

TOTAL в сообщении #260825 писал(а):

В условиях задачи, результат действия оператора $f^{(s)}$ на любой вектор равен нулю.

Но ведь это ещё только требуется доказать.

[TOTAL]

amiable в сообщении #260956 писал(а):

TOTAL в сообщении #260825 писал(а):

В условиях задачи, результат действия оператора $f^{(s)}$ на любой вектор равен нулю.

Но ведь это ещё только требуется доказать.

Это очевидно (поделите обе части условия на норму вектора $a$ в степени $s$), но доказать требуется не это.

[amiable]

TOTAL в сообщении #261116 писал(а):

amiable в сообщении #260956 писал(а):

TOTAL в сообщении #260825 писал(а):

В условиях задачи, результат действия оператора $f^{(s)}$ на любой вектор равен нулю.

Но ведь это ещё только требуется доказать.

Это очевидно (поделите обе части условия на норму вектора $a$ в степени $s$), но доказать требуется не это.

Но если я поделю на норму $a$ в степени $s$, то получится только, что $\frac{1}{s!}f^{(s)}(\vec{x})\vec{b}^s\rightarrow 0$, $\vec{b}\rightarrow\vec{0}$, при этом $\vec{b}$ - единичный вектор, и не более.
Что же тогда, по-вашему, требуеся доказать?

[TOTAL]

amiable в сообщении #261129 писал(а):

Но если я поделю на норму $a$ в степени $s$, то получится только, что $\frac{1}{s!}f^{(s)}(\vec{x})\vec{b}^s\rightarrow 0$, $\vec{b}\rightarrow\vec{0}$, при этом $\vec{b}$ - единичный вектор, и не более.
Что же тогда, по-вашему, требуеся доказать?

Вектор $\vec{b}$ уже не стремится к нулю, это любой единичный вектор, поэтому $f^{(s)}(\vec{x})\vec{b}^s = 0$ для любого вектора. А доказать надо равенство нулю всех частных производных $s$-го порядка.

[amiable]

Но, если подставить вектор $\vec{a}=(t,t^2, \cdots, t^{m})$, $t\rightarrow 0$, то получится следующее.
$f^{(s)}(\vec{x})\vec{a}^n:=$\sum_{i_1, \cdots, i_s=1}^m\frac{\partial^s{f(\vec{x})}}{\partial{x_{i_1}}\cdots\partial{x_{i_s}}}a_{i_1}\cdots a_{i_s}$
Разделим на норму a в степени s. В знаменателе из неё можно вынести $|t|^s$. Поэтому только там, где $i_k=1, k=1, ..., s$, в знаменателе останется $(sgn(t))^s$ на s-тую степень корня из единицы плюс четные степени t, а в числителе единица, во всех остальных случаях в числителе останется ненулевая степень t, поэтому такие слагаемые стремятся к нулю. Оставшееся слагаемое не стремится к нулю, поэтому для выполнения равенства из условия необходимо, чтобы частная производная по $x_1,\cdots,x_1$ (s раз) была равна нулю. Таким образом, меняя месторасположение t в векторе a, можно показать, что элементы главной диагонали матрицы должны быть равны нулю, и не более. То есть, то, что я уже показал, используя вектор с единственной ненулевой компонентой.
Если вы не согласны, объясните, пожалуста, подробней, почему. Я вижу, что подстановка предложенного вами вектора не доказывает равенства нулю всех частных производных.

[TOTAL]

amiable в сообщении #261135 писал(а):

Но, если подставить

Прежде чеми подставлять, ответьте, согласны с тем, что на любом векторе эта сумма равна нулю?

[amiable]

Поскольку для любого единичного вектора можно указать последовательность стремящихся к нулевому векторов, которая, будучи нормированной, стремится к этому вектору, то $f^{(s)}(\vec{x})(\vec{c})^s=0$ для любого $\vec{c} \in R^m$, что возможно только в случае $f^{(s)}(\vec{x})=O$. Правильно ли я понял то, что вы предлагаете?

[TOTAL]

amiable в сообщении #261137 писал(а):

Поскольку для любого единичного вектора можно указать последовательность стремящихся к нулевому векторов, которая, будучи нормированной, стремится к этому вектору, то $f^{(s)}(\vec{x})(\vec{c})^s=0$ для любого $\vec{c} \in R^m$, что возможно только в случае $f^{(s)}(\vec{x})=O$. Правильно ли я понял то, что вы предлагаете?

Я не понял, что Вы поняли. Запишите здесь соотношение из условия после деления на норму ветора.

[amiable]

TOTAL в сообщении #261138 писал(а):

amiable в сообщении #261137 писал(а):

Поскольку для любого единичного вектора можно указать последовательность стремящихся к нулевому векторов, которая, будучи нормированной, стремится к этому вектору, то $f^{(s)}(\vec{x})(\vec{c})^s=0$ для любого $\vec{c} \in R^m$, что возможно только в случае $f^{(s)}(\vec{x})=O$. Правильно ли я понял то, что вы предлагаете?

Я не понял, что Вы поняли. Запишите здесь соотношение из условия после деления на норму ветора.

Соотношение из условия после деления на норму вектора будет иметь приблизительно такой вид:
$f^{(s)}(\vec{x})\vec{c}^s\rightarrow 0$ при $\vec{c}\rightarrow \vec{c_0}$, $\vec{c_0}$ - произвольный (ввиду того, что $\vec{a}$ можно устремить к $\vec{0}$ произвольным образом) единичный вектор. x - фиксированная точка. $\frac{1}{s!}$ отброшено. Теперь, ввиду непрерывности отображения, заданного матрицей $f^{(s)}(\vec{x})$, это отображение все векторы отображает в 0.

[TOTAL]

$$\frac{f^{(s)}(\vec{x})\vec{a}^s}{\|\vec{a}\|^s}=\frac{o(\|\vec{a}\|^s)}{\|\vec{a}\|^s}$$

Полагая $\vec{a}=\varepsilon \vec{b}$, где $\vec{b}$ произвольный вектор, имеем при стремлении $\varepsilon $ к нулю неизменную левую часть и стремящуюся к нулю правую часть. Это означает, что левая часть равна нулю на любом векторе, т.е. ${f^{(s)}(\vec{x})\vec{a}^s}=0.$

Теперь осталось показать, что все частные производные $s$-го порядка равны нулю. Идея состоит в том, что надо подставлять вектор $\vec{a},$ у которого любая пара компонент -- величины очень разного порядка. Вектор, который я Вам привёл - это только намек. С помощью него сможете (дополнительно к уже доказанному Вами) показать, что одна смешанная производная равна нулю. Для полного счастья подставляйте вектор $\vec{a}=(1, t^m, t^{m^2}, t^{m^3}, \cdots)$