О доказательстве Эйлера, степень 3.

[shwedka]

Тут по разным поводам упоминали Эйлерово доказателство ВТФ для степени три. Последнее слово здесь принадлежит Ю.Кучису из Вильнюса. Существо дела такое. В опубликованном доказательстве Эйлера имелся значительный пробел в одной лемме,обнаруженный много десятилетий спустя. Подобно менее знаменитым коллегам, Эйлер в каком-то месте поверил очень правдоподобному 'только'. Конечно, у гения даже ошибки гениальные, и ошибка Эйлера породила впоследствии теорию колец без однозначной факторизации. Ошибка Эйлера впоследствии была исправлена, то есть нужная лемма была доказана в обход ошибочного утверждения о факторизации.

Автор статьи, следуя Эдвардсу, предполагает, что на самом деле у Эйлера было два доказательства.Первое было безошибочным, но потом ему пришла в голову казавшаяся блестящей идея, и он забросил правильное доказательство, придумав другое, очень красивое, но ошибочное. Автор статьи, обдумывая дошедшие фрагменты, пытается восстановить первоначальное доказательство. Оно оказывается вполне элементарным и не очень длинным.

Я помещаю статью Кучиса, теперь по-русски, которую можно скачать с
http://ifile.it/7vlo9q2/Kuchis%2BEuler.pdf

или, если не получается, пишите мне в личку.
Кроме того, можно почитать книгу Эдвардса, которую можно найти методами, изложенными в http://dxdy.ru/post4514.html#p4514

[grisania]

shwedka в сообщении #257709 писал(а):

Тут по разным поводам упоминали Эйлерово доказателство ВТФ для степени три. Последнее слово здесь принадлежит Ю.Кучису из Вильнюса. Существо дела такое. В опубликованном доказательстве Эйлера имелся значительный пробел в одной лемме,обнаруженный много десятилетий спустя. Подобно менее знаменитым коллегам, Эйлер в каком-то месте поверил очень правдоподобному 'только'. Конечно, у гения даже ошибки гениальные, и ошибка Эйлера породила впоследствии теорию колец без однозначной факторизации. Ошибка Эйлера впоследствии была исправлена, то есть нужная лемма была доказана в обход ошибочного утверждения о факторизации.

Автор статьи, следуя Эдвардсу, предполагает, что на самом деле у Эйлера было два доказательства.Первое было безошибочным, но потом ему пришла в голову казавшаяся блестящей идея, и он забросил правильное доказательство, придумав другое, очень красивое, но ошибочное. Автор статьи, обдумывая дошедшие фрагменты, пытается восстановить первоначальное доказательство. Оно оказывается вполне элементарным и не очень длинным.

Я помещаю статью Кучиса, теперь по-русски, которую можно скачать с
http://ifile.it/7vlo9q2/Kuchis%2BEuler.pdf
http://www.mediafire.com/?sharekey=ea36d76fc05a4f9e07258ee67c679e4ab77362e4d70eb41ba2d0568e5b24962e
или, если не получается, пишите мне в личку.
Кроме того, можно почитать книгу Эдвардса, которую можно найти методами, изложенными в http://dxdy.ru/post4514.html#p4514

Не Ю.Кучис, а Ю.Мачис.
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus
Счас у него есть более короткое доказательство леммы Эйлера.
Что-то ссылка у меня не работает.

[shwedka]

grisania в сообщении #257886 писал(а):

Не Ю.Кучис, а Ю.Мачис.

Это ж надо так заработаться!!!
Ссылка
http://ifile.it/7vlo9q2/Kuchis%2BEuler.pdf
работает. Нужно кликнуть на
request download ticket
в левом верхнем углу (хотя, вроде, могут быть проблемы с недоделанным иексплорером)
либо (поправлено!)
http://www.mediafire.com/file/jmdjooilgzj/Machis+Euler.pdf
А ссылка на Mathnet бесполезна, поскольку они не дают читать за три последних года.
А более короткое доказательство - это очень хорошо, но не считается, пока не опубликовано, хотя бы в Архиве.
Если он ваш знакомый, напишите ему и попросите.

[ananova]

Благодарю за интересный материал. Скачал, просмотрел по верхам, поскольку нет времени и интереса к мелким деталям, учитывая, что степень "разжованности" темы не дает усомниться в правильности выводов автора.

Параллельно возник вопрос. До того момента, который начинает исследовать Юозас Мачис, у Эдвардса и Эйлера идет анализ с последующим утверждением, что $2p$ и $(p^2 + 3q^2)$ являются кубами. Почему не рассматривается такой вариант: $p$ и $2(p^2+3q^2)$ являются кубами? Хотя бы чисто с формальной точки зрения. Ведь математика любит точность, а не очевидность.

[grisania]

ananova в сообщении #258188 писал(а):

Благодарю за интересный материал. Скачал, просмотрел по верхам, поскольку нет времени и интереса к мелким деталям, учитывая, что степень "разжованности" темы не дает усомниться в правильности выводов автора.

Параллельно возник вопрос. До того момента, который начинает исследовать Юозас Мачис, у Эдвардса и Эйлера идет анализ с последующим утверждением, что $2p$ и $(p^2 + 3q^2)$ являются кубами. Почему не рассматривается такой вариант: $p$ и $2(p^2+3q^2)$ являются кубами? Хотя бы чисто с формальной точки зрения. Ведь математика любит точность, а не очевидность.

Вообще-то Эдвардс и и наверно сам Эйлер рассматривают 2 случая:
1) $2p$ не делится на 3 и тогда $2p$ и $(p^2 + 3q^2)$ являются кубами.
2) $2p$ делится на 3 и тогда $6p$ и $(p^2 + 3q^2)/3$ являются кубами.
Хотя, следуя 1-ому случаю ВТФ для тройки, всегда будет 2-ой вариант, а 1) случай - это один к одному 1-ый случай ВТФ для тройки.
Поэтому самый трудный вариант в ВТФ для тройки - это когда одно из $x,y,z$ чисел четное и делится на 3. Остальные случаи - это 1-ый случай ВТФ для тройки.

[ananova]

grisania в сообщении #258325 писал(а):

ananova в сообщении #258188 писал(а):

Параллельно возник вопрос. До того момента, который начинает исследовать Юозас Мачис, у Эдвардса и Эйлера идет анализ с последующим утверждением, что $2p$ и $(p^2 + 3q^2)$ являются кубами. Почему не рассматривается такой вариант: $p$ и $2(p^2+3q^2)$ являются кубами? Хотя бы чисто с формальной точки зрения. Ведь математика любит точность, а не очевидность.

Вообще-то Эдвардс и и наверно сам Эйлер рассматривают 2 случая:
1) $2p$ не делится на 3 и тогда $2p$ и $(p^2 + 3q^2)$ являются кубами.
2) $2p$ делится на 3 и тогда $6p$ и $(p^2 + 3q^2)/3$ являются кубами.

То что Вы написали есть в книге Эдвардса и книге Рибенбойма. Ещё раз повторю вопрос - Почему не рассматривается вариант: $p$ и $2(p^2+3q^2)$ являются кубами? Хотя бы чисто с формальной точки зрения. Ведь не доказано, что числа $p$ и $2(p^2+3q^2)$ не могут быть кубами.

[shwedka]

А вот, вырезанное из книги Серпиньского, трехстраничное, совсем элементарное доказательство.
http://www.megaupload.com/?d=230V5P8R



А тут книжка Кармайкла, где первоисточник доказательства от Серпиньского, стр 67. Конечно, идет по Эйлеровым стопам.
http://www.megaupload.com/?d=3EQBN1QL
Книга 1915 года, но, посмотрите, как она у меня здорово сохранилась!!!

Наконец, исходный текст самого Эйлера. Можете разобраться, где он с кубами справляется.
http://www.megaupload.com/?d=D0QC4LQC

ananova в сообщении #258383 писал(а):

Почему не рассматривается вариант: $p$ и $2(p^2+3q^2)$ являются кубами?

вот, почитала Эйлера и объясняю.
Числа $p,q$ различной четности. Потому $(p^2+3q^2)$ всегда нечетно. Следовательно, $2(p^2+3q^2)$ содержит в качестве множителей двойку только в первой степени и, значит, кубом быть не может.

[age]

Прочитал "восстановленное" доказательство Ю.Мачиса для $n=3$. Заключение: полнейший бред! Ну и что из того, что
$a^2+3b^2=(a_1^2+3b_1^2)(a_2^2+3b_2^2)...$
Дальше что? Кстати, число $2$ не представимо как $m^2+3n^2$, но при этом $a^2+3b^2$ прекрасно делятся на $2^k$!

[Коровьев]

age в сообщении #258461 писал(а):

Прочитал "восстановленное" доказательство Ю.Мачиса для $n=3$. Заключение: полнейший бред! Ну и что из того, что
$a^2+3b^2=(a_1^2+3b_1^2)(a_2^2+3b_2^2)...$

У автора, на мой взгляд, отсутствует важная лемма.
Если $a^2+3b^2$ делится на $c^2+3d^2$, то найдутся такие $x,y$, что
$a^2+3b^2=(c^2+3d^2)(x^2+3y^2)$
и
$a=cx-3dy $
$b=cy+dx$
Интуитивно это вроде как и ясно, ну а вдруг...
Я, вот, с наскоку доказательства сразу и не нашёл.

age в сообщении #258461 писал(а):

Кстати, число $2$ не представимо как $m^2+3n^2$, но при этом $a^2+3b^2$ прекрасно делятся на $2^k$!

Только на $2^2$.
И не больше, и не меньше.

[ananova]

shwedka в сообщении #258415 писал(а):

ananova в сообщении #258383 писал(а):

Почему не рассматривается вариант: $p$ и $2(p^2+3q^2)$ являются кубами?

. Потому $(p^2+3q^2)$ всегда нечетно. Следовательно, $2(p^2+3q^2)$ содержит в качестве множителей двойку только в первой степени и, значит, кубом быть не может.

Хорошо бы, чтобы авторы указывали такие моменты в своих доказательствах, а не прыгали по наиболее сложным моментам доказательства. Поскольку, если $2(p^2+3q^2)$ не может быть кубом, а $p$=$2*2*куб - тоже не может быть кубом и тогда: $2*2*2*$куб$*(p^2+3q^2)$. То есть достаточно рассмотреть $(p^2+3q^2)$, что и хотелось понять.

[shwedka]

ananova в сообщении #258484 писал(а):

Хорошо бы, чтобы авторы указывали

Пожелание передано участнику Euler.

[grisania]

Коровьев в сообщении #258472 писал(а):

-----------------------------------
У автора, на мой взгляд, отсутствует важная лемма.
Если $a^2+3b^2$ делится на $c^2+3d^2$, то найдутся такие $x,y$, что
$a^2+3b^2=(c^2+3d^2)(x^2+3y^2)$
и
$a=cx-3dy $
$b=cy+dx$
Интуитивно это вроде как и ясно, ну а вдруг...
Я, вот, с наскоку доказательства сразу и не нашёл.
-----------------------------------

Меня это тоже смущало, но если решить
$a=cx-3dy $
$b=cy+dx$
как систему относительно $x, y$, то все будет ОК.
Действительно, решив систему, получаем $x={\left( ac+3bd \right)}/{p}\;$, $y={\left( bc-ad \right)}/{p}\;$. То, что $x, y$ целые числа см. доказательство Предложения 5, Мачис. Следовательно,
${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{\left( cx-3dy \right)}^{2}}+3{{\left( cy+dx \right)}^{2}}=\left( {{c}^{2}}+3{{d}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+3{{y}^{2}} \right)$.
Мачис считает, что это и так ясно.

[age]

grisania в сообщении #258517 писал(а):

Мачис считает, что это и так ясно.

Пусть считает. Я с ним согласен, т.к. могу доказать это и сам. Или прочитать.
Дальше что? Откуда выводится, что $a^2+3b^2$ не может быть ни $c^3$ ни $4c^3$? (при том, что $a$ - также куб). Вот что самое главное. Даже если все то, что он написал - верно, из этого никак не следует теорема Ферма для кубов!

Кстати, уравнение $4x^3=a^2+3$ мы с вами разбирали, и я на нем как раз таки спотыкнулся, напутал с множителями. А потом maxal написал, что оно сводится к "морделльке" для $432$, причем другого решения, насколько я помню, не было ни у меня, ни у maxal, ни у других участников.

А Мачис самую пустую ерунду выложил, а самое интересное - извините! Дальше-то что?

[grisania]

[quote="shwedka в сообщении #258415"]А вот, вырезанное из книги Серпиньского, трехстраничное, совсем элементарное доказательство.
http://www.megaupload.com/?d=230V5P8R
----------------------------------------------
http://www.megaupload.com/?d=D0QC4LQC

Считать доказательство из книги Серпиньского элементарным нельзя. Он, а точнее Browkin, используют квадратичные вычеты для доказательства факта, что если ${{f}^{2}}+3{{g}^{2}}$ делится на нечетное простое число $p$ и $\left( f,g \right)=1$, то простое $p$ число имеет вид $p={{a}^{2}}+3{{b}^{2}}$, где $\left( a,b \right)=1$, $a$ и $b$ разной четности. У Серпиньского об этом написано на странице 415 в конце.

Мачис же ссылается на такое элементарное доказательство, изложенное у Рибенбойма - Утверждение 4.

[grisania]

shwedka на этой ветке предоставила ссылки на источники доказательства ВТФ для тройки, где центральный момент доказательства - Лемма Эйлера. Большое спасибо ей за это.
Такие доказательства полезны для ферматиков, и показывают тщетность их попыток доказать ВТФ элементарно, следовательно, несут большую воспитательную и образовательную нагрузку.
В книге Ribenbojm P. Poslednyaya teorema Ferma dlya lyubitelej(Mir, 2003) имеется обширный список авторов, доказавших ВТФ для тройки (стр. 47) другими способами.
Автор Год
Кауслер 1795/6, опубл. в 1802 г.
Лежандр 1823, 1830
Кальцолари 1855
Ламе 1865
Тейт 1872
Гюнтер 1878
Гамбиоли 1901
Крей 1909
Рыхлик 1910
Штокхаус 1910
Кармайкл 1915
ван дер Корпут 1915
Туэ 1917
Дуарте 1944

Было бы интересно посмотреть доказательства ВТФ для тройки другими математиками, но у меня к сожалению нет доступа к старым журналам.
Также интересно посмотреть применяют ли другие вездесущий бесконечный спуск или обходятся без него?