2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 задача на сохранение импульса
Сообщение01.11.2009, 22:38 


01/11/09
13
Дайте пожалуйста подсказку к задаче.
имеем два шарика с массами $m$ и $M$, $m < M$. Маленький шарик лежит на большом. Мы подымаем эту систему из шариков и отпускаем. За мгновение до удара о землю скорость системы равна $v_0$. Найти скорость маленького шарика после удара. Все соударения полностью упругие.

Я думаю что надо использовать законы сохранения импульса и энергий. Имею
$(m+M)v_0=mv_1+Mu_1$
$(m+M)v_0^2=mv_1^2+Mu_1^2$
из этих уравнений получаю $v_1=v_0$ но это не возможно :?: тоесть мои
уравнения не описывают задачю. За любую помошь буду очень благодарен

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение01.11.2009, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
boryn в сообщении #257400 писал(а):
но это не возможно

почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение01.11.2009, 23:44 


01/11/09
13
meduza в сообщении #257414 писал(а):
boryn в сообщении #257400 писал(а):
но это не возможно

почему?

потому что скорость должна быть направлена в другую строну. Должно быть
$v_1=-v_0$ есил модуль скорости остаеться прежним. отсюда также
выходит что и скорость большого мяча равна v_0 тоесть мячи как двигались вместе так и после удара будут также вместье. Но на самом деле это не так. Маленькия мяч получит большой импульс и получит большую скорость а большой получит малый импульс. Тоесть сила удара перейдет малому мячу через большой как в колыбеле ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 15:32 
Заблокирован


19/06/09

386
boryn в сообщении #257427 писал(а):
потому что скорость должна быть направлена в другую строну. Должно быть
v_1=-v_0
А в этом и весь прикол полностью упругого столкновения с неподвижной землей. Один шарик, ударившись со скоростью $v$ об землю, меняет ее на противоположную. Но по модулю импульс сохраняется.

Так что оба уравнения у Вас составлены правильно. Ошибка где-то в математике.
У Вас скорость $v_1$ не зависит от масс тел $M$ и $m$. Возможно Вы решали задачу при $M=m$, но точно, не глядя на решение системы, я не найду ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 18:12 


01/11/09
13
Спасибо за ответ. Снижу привожу решение системы уравнений.
v_1 скорость малого мяча u_1 скорость большого после удара о землю
(m+M)v_0=mv_1+Mu_1
(m+M)v_0^2=mv_1^2+Mu_1^2
Переписываю первое и второе уравнения так
(m+M)v_0=mv_1+Mu_1
\Leftrightarrow m(v_0-v_1)=M(u_1 -v_0)
(m+M)v_0^2=mv_1^2+Mu_1^2
\Leftrightarrow m(v_0^2-v_1^2)=M(u_1^2 -v_0^2)
Теперь делю первое на второе. Получяю

\Leftrightarrow \frac{v_0-v_1}{v_0^2-v_1^2}=\frac{v_1-v_0}{u_1^2-v_0^2}
\Leftrightarrow \frac{1}{v_0+v_1}=\frac{1}{u_1+v_0}
\Leftrightarrow v_0+v_1=u_1+v_0
\Leftrightarrow v_1=u_1
Подставляю теперь результат в урвнение сохранения импульса и получяю.
(m+M)v_0=mv_1+Mv_1
v_0=v_1
Это мне кажетсо странным во первых знака проэкции скорости не тот. Во вторых если провести опыт с баскетбольным мячом и пинпонговым мячом( или тенисным) то после удара скорость пинпонгового будет на мног больше чем баскетбольного. Тоесть не может быть v_1=u_1

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
boryn
Надо еще учитывать импульс стены. Он как раз необходим, чтобы "повернуть" скорость. Поскольку столкновение абсолютно упругое, то энергия не теряется и шары после отражения будут лететь с такой же по модулю скоростью, какая у них была до удара. При столкновении под прямым углом, скорость изменится на противоположную, а значит стена получит импульс $2(m+M)\vec v_0$. (Если вы не поняли почему так, то нарисуйте векторную диаграммку импульсов). Короче, закон сохранения импульса (в векторной форме) будет выглядеть так:
$$(m+M)\vec v_0=m \vec v_1 + M \vec u_1 + 2(m+M)\vec v_0 .$$
Закон сохранения энергии у вас верно записан.
Из системы находятся скорости $\vec v_1 = \vec u_1 = -\vec v_0$. Т. е. шары как летели вместе до удара, так и будут лететь вместе после.
boryn в сообщении #257637 писал(а):
Во вторых если провести опыт с баскетбольным мячом и пинпонговым мячом( или тенисным) то после удара скорость пинпонгового будет на мног больше чем баскетбольного.

Если столкновение абсолютно упругое, и скорости обоих шаров до столкновения равны, то они будут равны и после столкновения.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 20:33 


01/11/09
13
to meduza
Малый мяч лежит на большом. И это система ударяеться о землю. После удара стенка(земля) остается не подвижной откуда взялось 2(M+m)v_0. Если я правильно понимаю закон сохрания количества движения то
в левой чясти равенства должны быть количества движения тел
до ударения в правой части после вот так
M_{earth}\vec 0 + (M+m)\vec v_0=M_{earth}\vec 0 + M\vec u_1 + m \vec v_1. Или это применимо только для замкнутой системы из двух тел
meduza в сообщении #257693 писал(а):
Если столкновение абсолютно упругое, и скорости обоих шаров до столкновения равны, то они будут равны и после столкновения.

да но надо учитевать что шары лежат друг на друге и при ударе энергия передается от большого мяча малому как в колыбеле нювтона. Из опыта видно что скорости не будут одинаковыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
boryn в сообщении #257699 писал(а):
После удара стенка(земля) остается не подвижной откуда взялось $2(M+m)v_0$

Я же просил нарисовать векторную диаграмму. Ладно нарисую сам (для простоты рассмотрю упрощенный случай -- абсолютно упругое столкновения шара с землей):
Изображение
Поскольку столкновение абсолютно упругое, то $\dfrac{mv^2}2=\dfrac{mv'^2}2 \iff v=v'$, т. е. модуль скорости не меняется. Меняется только направление на противоположное, это значит $\vec p=\vec p' + \vec p_{\text{з}}$, чтобы закон сохранения импульса выполнялся, нужно чтобы импульс земли $\vec p_{\text{з}}=2\vec p$. (При столкновении не под прямым углом, там появяться (ко)синусы и земле передастся меньший импульс -- довольно баянистая задача из многих задачников). То, что скорость земли можно считать равной 0 до и после столкновения, а массу можно считать бесконечно большой, вообще тут ни при чем, нам важен лишь импульс -- их произведение, а оно вообще-то может быть (и будет в данном случае) конечным числом.

boryn в сообщении #257699 писал(а):
да но надо учитевать что шары лежат друг на друге и при ударе энергия передается от большого мяча малому как в колыбеле нювтона.

Колыбель Ньютона -- немного другое, там происходит так называемы обмен скоростей (импульсов). В нашем же случае, оба шара после столкновения получат одинаковые скорости (как по модулю, так и направлению), и поэтому не будет никаких причин им разоединиться. И почему вы так этого хотите, вам не нравится их привязанность друг к другу ;)

boryn в сообщении #257699 писал(а):
Из опыта видно что скорости не будут одинаковыми.

Вы его проводили? Интересно, как вым удалось достигнуть асболютно упругого столкновения.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 21:12 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
boryn
Скорости после удара будут разными (иначе зачем бы потребовались массы?...). Для наглядности можно представить себе шарики массивными пружинками. Достаточно очевидно, что при ударе о землю большая пружинка просто "выстрелит" маленькой.
Представим, что между шариками есть тончайший зазор. Тогда будет по меньшей мере 2 (о большем количестве - подробности ниже) столкновения:
1. Столкновение большого шара с землей с изменением направления его импульса.
2. Столкновение большого шара с маленьким шаром.
Для второго случая закон сохранения импульса в проекциях на направленную вертикально вверх ось будет записываться следующим образом:
$Mv_0-mv_0=-Mu+mv$
(закон сохранения энергии будет таким же, как Вы записали).
Отсюда (путем решения квадратного уравнения) находим $v$:
$v=\dfrac{3M-m}{m+M}v_0$
P.S. Если на секундочку представить, что сверху может лежать шарик большей массы, то получается гораздо более сложная и интересная задача с повторными "достолкновениями".

meduza
По-моему, Вы слегка пленены тем обстоятельством, что один шарик отскакивает с той же скоростью. В этой задаче два разных шарика. Впрочем, может быть, это как раз я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
EtCetera в сообщении #257710 писал(а):
Представим, что между шариками есть тончайший зазор.

Если уж рассматривать идеальный случай (в частности, без потери энергии и абсолютно одинаковой скоростью обоих шаров непосредственно перед столкновением), то и зазора между шарами быть не должно. В реалиях, разумеется, может пойти всё по-другому.

EtCetera в сообщении #257710 писал(а):
По-моему, Вы слегка пленены тем обстоятельством, что один шарик отскакивает с той же скоростью. В этой задаче два разных шарика.

Так говорят уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 21:42 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
meduza
Устремляя зазор к нулю... Строго говоря, я понимаю, что в идеальном случае дело может обстоять несколько, скажем так, нефизично, но когда при зазоре в 1 мм, 1 мк, 1нм... - маленький шарик "выстреливается", а при зазоре в 0 мм (мк, нм) - нет, у меня просто не хватает воображения. "Не верю" $\copyright$. Да, в задачах про злополучные шары, которые кладут в/достают из бесконечной корзины (?), в математике именно так и происходит. Но здесь не математика, здесь физика.
P.S. Впрочем, в своем посте я указал еще один способ, как можно взглянуть на ситуацию. Решить задачу для массивных пружинок (она будет посложнее, чем для шариков), а затем в ответе устремить коэффициент жесткости пружин к $\infty$.
P.P.S. Все думаю, какой еще аргумент придумать. Вот, кажется, что-то подходящее: практически во всех школьных/вузовских задачах на классическую механику (возможно, эта задача как раз и является тем редким, но ценным исключением) "абсолютно" упругие шарики можно заменить на "очень" упругие (с получением небольшой погрешности). Вполне вероятно, что к этой задаче это не относится.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение02.11.2009, 22:52 


01/11/09
13
У нас проводили опыт. Поставили бутылку на баскетбольный мяч горлышком вниз так что бутылка была в равновесии(не падала). Потом выпустили мяч из рук. После удара об пол бутылка подскачила примерно на 3 метра а мяч поднялся на меньшую высоту чем если бы мы отпускали мяч без бутылки. То-есть происходит примерно то что написал etCentre в своем сообщение. И заодно решил задачу. Примного благодарен всем за советы.

Извените meduza но все равно не понимаю нащет импульсов. Надо будет в учебниках почитать. Я это дело понимаю так. В замкнутой системе из трех тел два мячя и земля у каждой есть свой импульс p_i если мы суммируем их то получим полный импульс системы p_r. После удара полный
импульс такой же как и до удара.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение03.11.2009, 12:26 
Заслуженный участник


15/05/09
1563
boryn в сообщении #257740 писал(а):
все равно не понимаю нащет импульсов.
Если Вы имеете в виду
meduza в сообщении #257708 писал(а):
boryn в сообщении #257699 писал(а):
После удара стенка(земля) остается не подвижной откуда взялось $2(M+m)v_0$
...Поскольку столкновение абсолютно упругое, то $\dfrac{mv^2}2=\dfrac{mv'^2}2 \iff v=v'$, т. е. модуль скорости не меняется. Меняется только направление на противоположное, это значит $\vec p=\vec p' + \vec p_{\text{з}}$, чтобы закон сохранения импульса выполнялся, нужно чтобы импульс земли $\vec p_{\text{з}}=2\vec p$
то здесь "хитрость" в том, что мы полагаем массу третьего тела (Земли, стенки) бесконечной. Если рассмотреть для упрощения случай абсолютно упругого столкновения двух тел, одно из которых массой $M$ до удара неподвижно, то окажется, что скорость $v_M$ этого тела после удара равна
$v_M=\frac{2m}{m+M}v_0$
импульс
$p_M=\frac{2mM}{m+M}v_0$
а кинетическая энергия этого тела
$K_M=\frac{mM}{\left(m+M\right)^2}v_0^2$
Если теперь устремить $M\to\infty$, то окажется, что скорость тела с массой $M$ и его кинетическая энергия стремятся к нулю, а импульс этого тела тем не менее остается конечным и равным удвоенному импульсу системы до столкновения. Естественно, импульс тела с массой $m$ по закону сохранения импульса оказывается равным $-mv_0$, что и означает изменение скорости тела по направлению на противоположное.

В реальности бесконечных масс, разумеется, нет, и Земля имеет ненулевую, но крайне малую скорость. Тем не менее вследствие огромноси ее массы импульс конечен: и скорость, и масса входят в выражение для импульса в одинаковой степени - в первой. А вот КЭ, пропорциональная второй степени малой величины, оказывается тоже очень малой (пренебрежимо малой). В случае стенки в первом приближении можно считать связь стенки с Землей бесконечно жесткой, т.е. на самом деле при столкновении тел со стенкой следует рассматривать столкновение тел с Землей, имеющей существенно большуя массу, чем стенка.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение03.11.2009, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
EtCetera в сообщении #257718 писал(а):
но когда при зазоре в 1 мм, 1 мк, 1нм... - маленький шарик "выстреливается", а при зазоре в 0 мм (мк, нм) - нет, у меня просто не хватает воображения.

Да, скорее всего что шарик выстрелится даже при нулевом зазоре. Если рассматривать шарики как совокупность частиц, то при столкновения системы $m+M$ с землей нижний слой частиц изменит свой импульс на противоположный, затем он упруго столкнется со следущим слоем и произойдет обмен скоростей и т. д. В конце концов "импульс дойдёт" до малого шарика и это можно рассматривать как столкновение двух шариков, движущихся с противоположными скоростями, т. е. как вы уже писали выше.

Довольно скользкая задача из той серии, когда решение школьными и университетскими методами даёт разные результаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на сохранение импульса
Сообщение03.11.2009, 16:46 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
 !  Парджеттер:
boryn, формулы надо набирать с помощью тега math (как это делать можно посмотреть здесь). В том числе обязательно использование знака доллара. Иначе создается неудобство при чтении формул. Пока устное предупреждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group