Предел с иррациональностями сверху и снизу

[gris]

Уж и не помню. Вполне возможно, что у Фихтенгольца многие вещи расписаны весьма подробно. Да к чему читать? Сколько приёмов в интегрировании, в дифурах - не запомнишь. Надо вдумчиво подходить к процессу. Один и тот же предел можно посчитать и по Лопиталю, и через бесконечно малые, и заменой переменной, и трюком. И всё сгодится. Степень овладевания предмета зависит от цели обучения.

[arseniiv]

У меня к вам свежие пределы:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x + e^{ - x} - 2}} {{\sin ^2 x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x - 1 + e^{ - x} - 1}} {{x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - x}} {{x^2 }}\mathop = \limits^? 0$ - это [0/0] или таки 0?

А вот тут прошу толкнуть опять (а более именно: там надо просто расписывать в $e$-подобные числитель и знаменатель, или можно как-то упростить?)...

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{1 + \sin x\cos \alpha x}} {{1 + \sin x\cos \beta x}}} \right)^{\operatorname{ctg} ^3 x} $$

Я наконец-таки научился работать с эквивалентными бесконечно малыми.

[gris]

Э-э-э
Вы используете бесконечно малые только до первой степени $x$, а как показывает первый Ваш предел, этого недостаточно. Его можно немножко упростить, представив числитель как квадрат разности. Она там явно просится, хотя не решает вопроса. А вот вспомните разложение экспоненты до квадрата $x$.
Второй предел - вариант второго замечательного. Чего там может быть ужасного? К дроби прибавьте единицу и вычтите её.


В первом, наверное, разложение до второй степени $x$ некорректно использовать. Это уже как бы ряд Тейлора. Тогда действительно представить как квадрат, а потом домножить числитель и знаменатель на $e^{x/2}$

[arseniiv]

Я уже так делал, но замучился в преобразованиях полученной степени $e$. А если числитель и знаменатель отдельно привести ко второму замечательному, то не легче ли будет?
А как экспоненту раскладывать до $x^2$, не знаю...

[ewert]

arseniiv в сообщении #257871 писал(а):

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x + e^{ - x} - 2}} {{\sin ^2 x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^x - 1 + e^{ - x} - 1}} {{x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - x}} {{x^2 }}\mathop = \limits^? 0$ - это [0/0] или таки 0?

Это -- стандартная ошибка. Замена на эквивалентные законна, строго говоря, только тогда, когда главные члены не сокращаются. Правильно так:

$$\lim\limits_{x \to 0}{e^x + e^{ - x} - 2\over\sin^2x} = \lim\limits_{x \to 0}{(e^x - 1) + (e^{ - x} - 1)\over x^2} = \lim\limits_{x \to 0}{(x+o(x)) - (x-o(x))\over x^2 } = \lim\limits_{x \to 0}{o(x)\over x^2} = ? $$

Числитель в последнем выражении, в принципе, может быть как сильнее, так и слабее знаменателя (он много меньше икса, но неизвестно, насколько -- дотягивает ли до икса в квадрате или нет). Т.е. вся полезная информация при таком подходе оказывается потерянной.

[gris]

Чего-то Вы с Теховской формулой намудрили, ну да не суть.

$\lim \limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1 + \sin x\cos \alpha x}{1 + \sin x\cos \beta x} \right)^{\ctg^3x} =\lim \limits_{x \to 0} \left(1+ \dfrac{1 + \sin x\cos \alpha x}{1 + \sin x\cos \beta x}-1 \right)^{\ctg^3 x}$

Теперь посчитать

$\lim \limits_{x \to 0} \left(\dfrac{ \sin x\cos \alpha x-\sin x\cos \beta x}{1 + \sin x\cos \beta x} \right)\cdot\ctg^3 x$

Синусы сокращаются, косинусы кое-где в единицы обращаются. Ну и разность косинусов - известная формула.

[Алексей К.]

ИС в сообщении #257365 писал(а):

А кто автор этого курса математического анализа для Втузов? )

в ответ gris в сообщении #257381 писал(а):

Уж и не помню.

Чудится мне, что Пискунов. И толстый, и подробный, и для ВТУЗов. В 10-м классе легко читался. И вспомнился сразу. Вот только как он мог попаться в руки grisу? Ведь это было в эпоху, когда ещё не было сюръекций, компактов, гомеоморфизмов, наркотиков и прочей новомодной хрени...

[gris]

Алексей К., я нашёл его на помойке.
И с этого момента увлёкся математикой. Но нет. Как раз наоборот.
А вот прикиньте - иду по улице и вижу ворох выброшенных книг. Помню, там был Серпинский, упомянутый курс матана, потрёпанный Демидович ну и ещё что-то. Я подобрал, а чего такого.
Компакты это сидюки, что-ли?

[arseniiv]

Ой, как я ошибся-то!! Ну как же мне разложить-то первое, я так и не понял по словесному описанию... А, ну попробую по разности квадратов, только ведь тогда в неё не весь числитель уйдёт, а числитель без $-2$

-- Вт ноя 03, 2009 18:07:08 --

gris в сообщении #257878 писал(а):

Чего-то Вы с Теховской формулой намудрили

Это не я, это MathType

[gris]

$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{e^x + e^{ - x} - 2}{\sin ^2 x} =\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{e^x + e^{ - x} - 2e^{x/2}e^{ - x/2}}{\sin ^2 x} =\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{(e^{x/2} - e^{ - x/2})^2}{\sin ^2 x} =\left( \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - e^{-x}}{\sin 2x}\right)^2=$

[arseniiv]

О, так далеко, конечно, вы могли и не писать...
Ошарашило такое простое преобразование 1 в $e^a e^{-a}$
Спасибо!

[arseniiv]

Ну и последнее уже надолго, к чему идей нету совсем (правило Лопиталя? Но мы его формально ещё не можем):

$$\mathop {\lim}\limits_{x \to 0} \sqrt {4\cos 3x + x\operatorname{arctg} (1/x)}$$

Ха, горе-вычислитель! Тут правилом Лопиталя и не пахнет, нет же частного. Хотя, наверно, можно свести к нему, домножив всё, к примеру на $x$. Так льзя? [Хотя сейчас-то это мне никак не поможет, но на будущее.]

Даже $\operatorname{arctg} x^{-1} = \operatorname{arcctg} x$ не сильно сдвигает дело

[AKM]

Я почему-то уверен, что $\dfrac{x}{\arctg x}\to1$ при $x\to0$. Возможно, от того, что я знаю: $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tg x}{x}=1$.
Ну, а за $\cos 0=1$ я готов любые деньги поставить на кон.

arseniiv в сообщении #258022 писал(а):

Даже $\operatorname{arctg} x^{-1} = \operatorname{arcctg} x$ не сильно сдвигает дело

Если Вы испытывате трудности при написании дробей, то: \dfrac{ верх }{ низ } .

[arseniiv]

Поправлю-ка формулу. Там арктангенс не от аргумента, а от взаимно обратной ему величины.
$\operatorname{arcctg}(x)$ - ограниченная функция. Но предела у неё нет в нуле.
Вообще, правый член должен в пределе стать 0, потому как Mathematica говорит, что значение предела 2.

[ИСН]

Начнём с малого. $\lim\limits_{x\to\infty\text{(да, да, $\infty$)}}\arctg x=?$