Предел с иррациональностями сверху и снизу

[arseniiv]

$\mathop {{\text{lim}}}\limits_{n \to \infty } \frac{{n\root 3 \of {5n^2 } + \root 4 \of {9n^8 + 1} }} {{(n + \sqrt n )\sqrt {n^2 - n + 7} }}$
Попытался убрать иррациональность снизу, но не знаю, что делать для вынесения максимальных степеней $n$ из выражений вида $\root a \of {n^b + k}$... Поискал примеры, но все не те.

[RIP]

Нужно просто взять, да и вынести максимальную степень, без всяких извращений. Например, $(n^9-13n^5)^{2/7}=n^{18/7}\cdot(1-13/n^4)^{2/7}$.

[ИСН]

Когда, знаете ли, за самолётом следят вражеские радары, он сбрасывает ворох фольги, чтобы среди мусора на картинке его потеряли.
Вот и этот пример так же.
Выкиньте все младшие степени и посмотрите, что там на самом деле. А строгое обоснование - потом.

[arseniiv]

Тьфу, голова бедовая! Действительно всё прекрасно выносится.
$\root 4 \of {9n^8 + 1} = \root 4 \of {n^8 (9 + 1/n^8 )} = n^2 \cdots$
$\sqrt {n^2 - n + 7} = \sqrt {n^2 (1 - 1/n + 7/n^2 )} = n \cdots$
А меня что-то заклинило... Спасибо за толчок.

ИСН в сообщении #256051 писал(а):

Выкиньте все младшие степени и посмотрите, что там на самом деле. А строгое обоснование - потом.

Нет, так не вышло бы.

Спасибо!

[bot]

arseniiv в сообщении #256057 писал(а):

ИСН в сообщении #256051 писал(а):
Выкиньте все младшие степени и посмотрите, что там на самом деле. А строгое обоснование - потом.
Нет, так не вышло бы.

Как это нет? В числителе младший член - первое слагаемое, а во втором под корнем 1. Вот их и выкидываем и получаем в числителе $\sqrt 3 x^2$. Знаменатель после аналогичной уборки мусора превращается в $n^2$. Остаётся сократить $n^2$ и получить ответ $\sqrt 3$.

[arseniiv]

Ну, в этом задании нельзя, потому что оно раннее. Вот потом можно уже эквивалентными бесконечно малыми пользоваться и так далее...

-- Чт окт 29, 2009 22:21:01 --

К тому же я лучше "мусор" потаскаю - при всяческих преобразованиях не на бумаге я всё время забываю что-нибудь и прихожу не туда

[ewert]

arseniiv в сообщении #256057 писал(а):

Нет, так не вышло бы.

Прекрасно вышло бы. В Вашем примере нет никаких разностей, которые могли бы доставить неприятности сокращением главных членов.

[arseniiv]

Спрошу ещё: где можно найти много (чем больше, тем лучше) примеров вычисления различнейших пределов? Из-за того, что у меня нет почти никаких примеров, я не знаю, что можно сделать в каком случае. Например, вот ещё один, который я никак не могу вычислить:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {1 + 2x} - 3}} {{\sqrt x - 2}}$$

Толкните снова?

[gris]

Домножать на сопряжённые и сверху, и снизу. Получатся две разности квадратов, в которых будут сокращаться сомножители. А примеров в Демидовиче много.
Если сверху и снизу многочлены или иррациональности, то при $x\to 0$ делим на наименьшую степень, при $x\to \infty $ на наибольшую.При $x\to a$ стараемся сократить на $(x-a)$(при неопределённости $0/0$).

[arseniiv]

Ладно, попробую...

[arseniiv]

Ура, получилось. И вопрос вдогонку: как определить, какие сопряжённые выражения действительно нужны для раскрытия неопределённости, а на какие можно и не умножать? Это приходит с опытом, или есть какой-то предалгоритм, позволяющий узнать, что таскать за собой не нужно?

[gris]

Если скобка обращается в ноль при $x=a$, то из неё надо каким-то образом вытащить $(x-a)$.
Помогает разложение на множители, как в примере

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}$

или домножение на выражение, помогающее избавиться от радикалов и привести неудобную скобку к рациональному виду

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt[3]{x^2-3}-1}{\sqrt[3]{x^2+23}-3}$
сомножители часто называют сопряжёнными выражениями, хотя они могут быть и неполным квадратом суммы, например. Дополняющем скобку до разности кубов.

[ИС]

gris

gris в сообщении #257322 писал(а):

Если скобка обращается в ноль при $x=a$, то из неё надо каким-то образом вытащить $(x-a)$.
Помогает разложение на множители, как в примере

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}$

или домножение на выражение, помогающее избавиться от радикалов и привести неудобную скобку к рациональному виду

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt[3]{x^2-3}-1}{\sqrt[3]{x^2+23}-3}$
сомножители часто называют сопряжёнными выражениями, хотя они могут быть и неполным квадратом суммы, например. Дополняющем скобку до разности кубов.

А вы к этому пришли просто много много много решая, или об этом что-то гдето написано?

[gris]

Один известный математик, боюсь ошибиться кто, сказал, что человек, прорешавший Демидовича, для математики потерян.
Бойкое владение приёмами формального решения разнообразных задач типа нахождения пределов или интегрирования на самом деле мало что даёт в глубоком понимании теории. Да и на практике совершенно не нужно. Но если постоянно решать такие задачи, а тем более обучать их решению, то этими навыками овладеваешь и не желая того. Да и то иногда позорно тормозишь в самых простых случаях.
В продвинутых учебниках матана такие приёмы если и упоминаются, то вскользь. А вот я помню толстый том "Курс математического анализа для втузов". Там примеры разбираются подробно и со вкусом.
Ну ещё некоторым просто нравиться решать разные задачки и не олимпиадного уровня. На пределы ведь и такие задачи бывают, что закачаешься.

[ИС]

А кто автор этого курса математического анализа для Втузов? )