Помогите с доказательством (конечные кольца)

[wall-e]

Помогите доказать, что если R-конечное кольцо, то для любых x,y, принадлежащих R, выполняется: если x*y=1 => y*x=1

[BVR]

Если кольцо конечное, то, наверное, для любого его элемента $a$ существует натуральное число $k$, такое, что $a^k = 1$. Видимо, надо применить это свойство к $y*x$ и в длинном произведении расставить скобки.

[PAV]

BVR в сообщении #257075 писал(а):

Если кольцо конечное, то, наверное, для любого его элемента $a$ существует натуральное число $k$, такое, что $a^k = 1$.

Это неверно, контрпримеры: 2 в кольце вычетов по модулю 4, 3 в кольце вычетов по модулю 6.

[id]

Если $xy=1$, т.е. $y$ - правый обратный для $x$, то $zx=0 \Rightarrow z=0$, т.е. $x$ не есть правый делитель нуля.
Рассмотрим отображение $y \to yx$, тогда это будет инъекция. При этом кольцо конечно.

[Профессор Снэйп]

Ассоциативность кольца, я так понял, предполагается по умолчанию.

Если да, то полностью согласен с id: его идея приводит к решению. Но по ходу стали интересны два вопроса:

1) Бывают ли не ассоциативные кольца с единицей?
2) Можно ли привести пример бесконечного кольца, в котором $xy = 1 \neq yx$ для некоторых $x$ и $y$?

-- Пн ноя 02, 2009 21:18:58 --

PAV в сообщении #257094 писал(а):

Это неверно, контрпримеры: 2 в кольце вычетов по модулю 4, 3 в кольце вычетов по модулю 6.

А также $0$ в любом кольце

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #257627 писал(а):

1) Бывают ли не ассоциативные кольца с единицей?

Алгебра Кэли вроде бы подходит.

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #257796 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #257627 писал(а):

1) Бывают ли не ассоциативные кольца с единицей?

Алгебра Кэли вроде бы подходит.

Ага. Тогда ещё один вопрос: бывают ли конечные неассоциативные кольца с единицей?

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #257799 писал(а):

RIP в сообщении #257796 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #257627 писал(а):

1) Бывают ли не ассоциативные кольца с единицей?

Алгебра Кэли вроде бы подходит.

Ага. Тогда ещё один вопрос: бывают ли конечные неассоциативные кольца с единицей?

Да вроде бы тот же самый пример подходит, только вместо $\mathbb R$ взять конечное поле.

-- Вт 03.11.2009 04:57:49 --

Профессор Снэйп в сообщении #257627 писал(а):

2) Можно ли привести пример бесконечного кольца, в котором $xy = 1 \neq yx$ для некоторых $x$ и $y$?

Например, алгебра всех линейных операторов $f\colon A\to A$ для бесконечномерного линейного пространства $A$. (Раньше была глупость написана.)

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #257801 писал(а):

Да вроде бы тот же самый пример подходит, только вместо взять конечное поле.

Насколько я понимаю, там не всё полностью аналогично. Если начать образовывать алгебру Кэли над конечным полем вместо $\mathbb{R}$, то появятся либо коммутативность, либо делители нуля (теорема Веддербёрна).

А ассоциативность появится вроде не должна. $jl = (il)k \neq i(lk) = i(-kl) = -jl$, вроде так...

[lofar]

Кольца с единицей такие, что $(xy=1)\Rightarrow (yx=1)$ называются кольцами конечными по Дедекинду. Всякое нетерово/артиново слева/справа ассоциативное кольцо с 1 является конечным по Дедекинду. Если $L$ -- тело и $V_L$ -- пространство над $L$, то $V_L$ конечномерно тогда и только тогда, когда кольцо линейных преобразований $End(V_L)$ конечно по Дедекинду (это уже использовал RIP в своем примере).