2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение30.10.2009, 22:17 
Помогите доказать, что если R-конечное кольцо, то для любых x,y, принадлежащих R, выполняется: если x*y=1 => y*x=1

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение31.10.2009, 19:46 
Если кольцо конечное, то, наверное, для любого его элемента $a$ существует натуральное число $k$, такое, что $a^k = 1$. Видимо, надо применить это свойство к $y*x$ и в длинном произведении расставить скобки.

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение31.10.2009, 20:10 
Аватара пользователя
BVR в сообщении #257075 писал(а):
Если кольцо конечное, то, наверное, для любого его элемента $a$ существует натуральное число $k$, такое, что $a^k = 1$.


Это неверно, контрпримеры: 2 в кольце вычетов по модулю 4, 3 в кольце вычетов по модулю 6.

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение31.10.2009, 21:01 
Если $xy=1$, т.е. $y$ - правый обратный для $x$, то $zx=0 \Rightarrow z=0$, т.е. $x$ не есть правый делитель нуля.
Рассмотрим отображение $y \to yx$, тогда это будет инъекция. При этом кольцо конечно.

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение02.11.2009, 17:57 
Аватара пользователя
Ассоциативность кольца, я так понял, предполагается по умолчанию.

Если да, то полностью согласен с id: его идея приводит к решению. Но по ходу стали интересны два вопроса:

1) Бывают ли не ассоциативные кольца с единицей?
2) Можно ли привести пример бесконечного кольца, в котором $xy = 1 \neq yx$ для некоторых $x$ и $y$?

-- Пн ноя 02, 2009 21:18:58 --

PAV в сообщении #257094 писал(а):
Это неверно, контрпримеры: 2 в кольце вычетов по модулю 4, 3 в кольце вычетов по модулю 6.

А также $0$ в любом кольце :)

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение03.11.2009, 04:02 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #257627 писал(а):
1) Бывают ли не ассоциативные кольца с единицей?
Алгебра Кэли вроде бы подходит.

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение03.11.2009, 04:44 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #257796 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #257627 писал(а):
1) Бывают ли не ассоциативные кольца с единицей?
Алгебра Кэли вроде бы подходит.

Ага. Тогда ещё один вопрос: бывают ли конечные неассоциативные кольца с единицей?

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение03.11.2009, 04:50 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #257799 писал(а):
RIP в сообщении #257796 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #257627 писал(а):
1) Бывают ли не ассоциативные кольца с единицей?
Алгебра Кэли вроде бы подходит.

Ага. Тогда ещё один вопрос: бывают ли конечные неассоциативные кольца с единицей?
Да вроде бы тот же самый пример подходит, только вместо $\mathbb R$ взять конечное поле.

-- Вт 03.11.2009 04:57:49 --

Профессор Снэйп в сообщении #257627 писал(а):
2) Можно ли привести пример бесконечного кольца, в котором $xy = 1 \neq yx$ для некоторых $x$ и $y$?
Например, алгебра всех линейных операторов $f\colon A\to A$ для бесконечномерного линейного пространства $A$. (Раньше была глупость написана.)

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение03.11.2009, 05:10 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #257801 писал(а):
Да вроде бы тот же самый пример подходит, только вместо взять конечное поле.

Насколько я понимаю, там не всё полностью аналогично. Если начать образовывать алгебру Кэли над конечным полем вместо $\mathbb{R}$, то появятся либо коммутативность, либо делители нуля (теорема Веддербёрна).

А ассоциативность появится вроде не должна. $jl = (il)k \neq i(lk) = i(-kl) = -jl$, вроде так...

 
 
 
 Re: Помогите с доказательством (конечные кольца)
Сообщение06.11.2009, 21:43 
Аватара пользователя
Кольца с единицей такие, что $(xy=1)\Rightarrow (yx=1)$ называются кольцами конечными по Дедекинду. Всякое нетерово/артиново слева/справа ассоциативное кольцо с 1 является конечным по Дедекинду. Если $L$ -- тело и $V_L$ -- пространство над $L$, то $V_L$ конечномерно тогда и только тогда, когда кольцо линейных преобразований $End(V_L)$ конечно по Дедекинду (это уже использовал RIP в своем примере).

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group