Решить уравнение в натуральных числах

[Dialectic]

Решить уравнение в натуральных числах:
$(a+b)^2-ab=c^3$

[gris]

3;3;3
7;14;7
13;39;13
17;73;19
Может навеет чего?

[Dialectic]

gris в сообщении #257036 писал(а):

3;3;3
1;14;7
13;38;13
17;74;19
Может навеет чего?

Пока,увы, ничего
Уравнение интересное, самое интересное то, что даже непонятно с чего можно начать его исследовать. Вообще в голову ничего не лезет. Ну понятно, что $a+b>c$, так ведь это мелочи жизни... Я вообще желаю найти все решения, без всякого остатка.

[gris]

У меня только oдну серию навеяло
$k^2+k+1; k(k^2+k+1); k^2+k+1$

[Nilenbert]

Есть такая серия решений, не знаю насколько полная.

$$ (x^3-3x y^2-y^3)^2+(x^3-3x y^2-y^3)(3 x^2 y+3x y^2)+(3 x^2 y+3x y^2)^2=(x^2+xy+y^2)^3 $$

[Dialectic]

Вот, вроде ещё одну серию нашел: $3k^3,3k^3,3k^2$

Nilenbert в сообщении #257050 писал(а):

Есть такая серия решений, не знаю насколько полная.

$$ (x^3-3x y^2-y^3)^2+(x^3-3x y^2-y^3)(3 x^2 y+3x y^2)+(3 x^2 y+3x y^2)^2=(x^2+xy+y^2)^3 $$

Это уже интересно. Откуда взяли?

[VAL]

Dialectic в сообщении #257038 писал(а):

gris в сообщении #257036 писал(а):

3;3;3
1;14;7
13;38;13
17;74;19
Может навеет чего?

Пока,увы, ничего

1, 18, 7
3, 3, 3
7, 14, 7
8, 144, 28
13, 39, 13
17, 36, 13
17, 73, 19
21, 84, 21
24, 24, 12
31, 155, 31
38, 57, 19
51, 60, 21
56, 112, 28
71, 181, 37
78, 195, 39
81, 81, 27
90, 109, 31
111, 148, 37
126, 197, 43
192, 192, 48
А так?

Как найти все решения пока не знаю.
Но некоторые бесконечные серии строятся легко.
Например, $a=b=3x^3, \ c=3x^2$
Ну и те, что уже привели, пока я набирал это письмо

[Shtirlic]

Как вариант можно взять a=1, найти дискриминант квадратного уравнения относительно b ($4c^{3}-3$), понять когда корень из него рациональное число. Тогда мы найдем рациональное b. А потом можно заметить, если a,b,c решение то $r^{3}a$,$r^{3}b$,$r^{2}c$ тоже решение.

[VAL]

Nilenbert в сообщении #257050 писал(а):

Есть такая серия решений, не знаю насколько полная.

$$ (x^3-3x y^2-y^3)^2+(x^3-3x y^2-y^3)(3 x^2 y+3x y^2)+(3 x^2 y+3x y^2)^2=(x^2+xy+y^2)^3 $$

Неполная. Например, решение $(17, 73, 19)$ в эту серию не входит.

[meduza]

Можно попробывать использовать симметричность относительно $a$ и $b$.

[RIP]

post71290.html#p71290