Доказательство теоремы Ферма для n=3

[KORIOLA]

Господа!
Предлагаю вашему вниманию доказательство великой теоремы Ферма для n=3.
© Н. М. Козий, 2009
Украина, АС № 28607
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
$A^{n}+B^{n}=C^{n}$(1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
$A^{n}=C^{n}-B^{n}$(2)
Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:
$A^{3}=C^{3}-B^{3}=(C-B)(C^{2}+CB+B^{2})$(3)
Обозначим: C – B = K (4)
Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)
Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:
$A^{3}=3KC^{2}-3K^{2}C+K^{3}$(6)
Отсюда:
$3KC^{2}-3K^{2}C-(A^{3}-K^{3})=0$(7)
Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое с параметрами А и К и переменной величиной С. Решая его, получим:
$C=(3K^{2}+\sqrt{12KA^{3}-3K^{4}})/6K$(8)
Число C будет целым только при условии, если:
$\sqrt{12K^{3}-3K^{4}}=3NK^{2} $(9)
Отсюда:
$12KA^{3}-3K^{4}=9N^{2}K^{4}$
$A=K\cdot\sqrt[3]{(3N^{2}+1)/4}$(10)
Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.
Рассмотрим решение уравнения (10) на числовых примерах .
N =1; A=K;
N =3; A = (1,9129…)• K;
N =5; A = (2,6684…)∙ K
Из приведенных примеров следует, что только при N =1 числа K и A являются целыми числами, при этом K = A. В этом случае из уравнения (8) следует:
C=K=A
А из уравнения (5) следует : B=0.
Следовательно, только при C=K=A и при B=0 уравнение (2) имеет решение в целых числах. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Автор Козий Николай Михайлович,
инженер-механик

[shwedka]

KORIOLA в сообщении #255153 писал(а):

Число C будет целым только при условии, если:
$\sqrt{12K^{3}-3K^{4}}=3NK^{2} $

Докажите, пожалуйста, что 'только'. Почему этот корень, по-Вашему, должен делиться на $K^{2}$, а делимости только на $K$ недостаточно?

[venco]

shwedka в сообщении #255156 писал(а):

KORIOLA в сообщении #255153 писал(а):

Число C будет целым только при условии, если:
$\sqrt{12K^{3}-3K^{4}}=3NK^{2} $

Докажите, пожалуйста, что 'только'. Почему этот корень, по-Вашему, должен делиться на $K^{2}$, а делимости только на $K$ недостаточно?

Даже делимость на $K$ надо ещё доказать.



Если подставить $A^3$ из (6) в (8), то легко можно увидеть, что подкоренное выражение равно $9K^2(2C-K)^2$, что приводит к тождеству в (8). Не удивительно.

[shwedka]

venco в сообщении #255170 писал(а):

Не удивительно.

Конечно!
Но это обстоятельство не снимает вопроса о $K^{2}$.

[Гаджимурат]

KORIOLA в сообщении #255153 писал(а):

$A^3=3K^2C-3KC^2+K^3$(6)

И $12A^3K-3K^4=9N^2K^4$ -это не верное предположение .В этом случае число
$C$ делится на $K$ ,но $C-B=K$,поэтому числа $C$ и $B$ не взаимно простые и,если данное предположение просто сократить на $K=k^3$,то из (10) видно,что
$A$ делится на $k^3$, но $C-B=k^3$,поэтому $A$ делится только на $k$.

[KORIOLA]

Уважаемые господа!
Первое разъяснение: в формуле (9) мною допущена опечатка: должно вместо
$12K^3$ быть $12KA^3$.
Это следует из формулы (8), а также из формулы, расположенной ниже
и следующей из формулы (9).
Второе разъяснение: если (C-B =K), то это не значит, что C должно делиться на K. В соответствии с формулой (8) число C зависит от значения чисел A и K. Очевидно, что в уравнении теоремы Ферма числа A, B, C взаимозависимы. А поскольку число C всегда больше числа B, то разность между ними равна целому числу. Я исходил из того что если уравнение теоремы Ферма имеет решение в целых числах, то при заданном значении числа A, как параметра, должны быть значения числа K, при которых это могло бы произойти. Решение имеет место только при K=1.
Как говорят в таких случаях- решение тривиальное.
P.S. Если я не ошибаюсь, то при условии что B и С взаимно простые числа, число C не делится на K. Поэтому допущение о делимости С на К неверно. Кстати, если А, В, С взаимно простые числа, то С всегда нечетное число.
И еще: из какой из моих формул следует, что корень должен делиться на $K^2?$ Из формулы (8) следует, что он должен делиться на K. Из формулы (8) также следует, что в подкоренном выражении уменьшаемое и вычитаемое содержат число К, и чтобы корень был целым числом, должно выполняться условие (9).
KORIOLA

[shwedka]

KORIOLA
При всем уважении, Вы не ответили на вопросы.

Цитата:

KORIOLA в сообщении #255153 писал(а):
Число C будет целым только при условии, если:
$\sqrt{12K^{3}-3K^{4}}=3NK^{2} $

Докажите, пожалуйста, что 'только'. Почему этот корень, по-Вашему, должен делиться на $K^{2}$, а делимости только на $K$ недостаточно?

KORIOLA в сообщении #256554 писал(а):

Решение имеет место только при K=1.

Слово 'только' требует доказательства. Почему других $K$ быть не может.

Пожалуйста, исправьте все опечатки и неточности в доказательстве, поместите здесь его новую версию и будем обсуждать далее.shwedka

[KORIOLA]

shwedke
Приношу извинения! Снова виновата моя невнимательность:
не K должно быть равно 1, а N=1.
Проблемы с набором формул приводят к ошибкам.
Не все шустрые в этом деле. Но, кажется, я все исправил.
KORIOLA

[shwedka]

KORIOLA в сообщении #256626 писал(а):

Но, кажется, я все исправил.

Ну, вот и прекрасно. Теперь помещайте исправленный текст на форум, только не заменяйте исходный вариант, а вставляйте последним сообщением, и будем спокойно обсуждать. Надеюсь, на вопросы Вы ответили.

[Гаджимурат]

KORIOLA в сообщении #256554 писал(а):

Первое разъяснение: в формуле (9) мною допущена опечатка: должно вместо $12K^3$
быть $12KA^3$ .

Это такая мелочь,подумаешь описка. Но Вы не ответили на главный вопрос: Ваше предположение ошибочно.ВСЕ Фермисты знают,что $C-B=k^3$,если $A$ делится на 3. Я попросил Вас сократить $12KA^3-3K^4=9N^2K^4$ на $K=k^3$ и сделать анализ,что же у Вас после этого получится?. А получится,что $A$ делится на $k^3$,
но только $A^3$ делится на $K=k^3$.

[KORIOLA]

Уважаемая shwedka!
Одна допущенная опечатка, понятная из контекста, не делает доказательство
непонятным, не требует переделки всего доказательства, и переделка его не является необходимым условием для обсуждения доказательства по существу.

Уважаемый Гаджимурат!
Из формул преобразования алгебраических выражений известно, что если
заданы числа $C$ и $B$и если
$(C-B) = k^m,$ то $A^m=C^m-B^m$ делится на $k^m$. Даже $A^x$делится на $k^m$ при этом условии, т.е. при любом показателе степени $x$, если при этом $(C-B) = k^m$. Другими словами:
$A^x=C^x-B^x$ делится на $(C-B) = k^m$.
Объясните, пожалуйста, если я принимаю число $A$
кратным 3, например, $A=33,$ то какие надо брать числа
$B$и $C$ или как их определить, чтобы они
удовлетворяли условию $C-B= k^3$?
Если, как Вы предлагаете, разделить указанное Вами выражение на
$K$, то получиться кубическое уравнение
$12A^3-3K^3=9N^2K^3$ или
$4A^3-K^3=3N^2K^3$ с двумя неизвестными
$K$ и $N$ при заданном числе $A$,
которое можно, конечно, попытаться решить.
P.S. Использование Вами одной и той же буквы $K(k)$, по-моему,
вносит некоторую путаницу.
KORIOLA

[Батороев]

Гаджимурат в сообщении #256718 писал(а):

ВСЕ Фермисты знают,что $C-B=k^3$,если $A$ делится на 3.

Может быть, $3(C-B)=A_1^3$, где $A_1$ - натуральный делитель числа $A$?

[shwedka]

KORIOLA в сообщении #256921 писал(а):

Уважаемая shwedka!
Одна допущенная опечатка, понятная из контекста, не делает доказательство
непонятным, не требует переделки всего доказательства, и переделка его не является необходимым условием для обсуждения доказательства по существу.

Исправить опечатку- дело одной минуты. Копировать-вклеить. А обсуждать всем гораздо легче исправленный текст.

К сожалению, дело не в одной лишь опечатке. Вы до сих пор не ответили на вопрос.

Цитата:

KORIOLA в сообщении #255153 писал(а):
Число C будет целым только при условии, если:
$\sqrt{12K^{3}-3K^{4}}=3NK^{2} $

Докажите, пожалуйста, что 'только'. Почему этот корень, по-Вашему, должен делиться на $K^{2}$, а делимости только на $K$ недостаточно?

[KORIOLA]

Ботороеву
Мне тоже непонятна аргументация Гаджимурата. В своем предыдущем
сообщении я, как Вы видите, пытаюсь с ней разобраться. И почему только
числа кратные 3 удовлетворяют тем условиям, которые он излагает. Хотел бы видеть такой пример.

shwedke
У меня есть доказательства и для $K$ в первой степени и для $K=A$ и для $K=1$. Я не стал их приводить в предложенном доказательстве, чтобы не обсуждать одновременно разные варианты доказательств, и чтобы не было мешанины и путаницы. Чтобы не было "QUI PRO QUO". Предлагаю завершить обсуждение одного варианта доказательства. А затем я размещу на форуме и другие варианты. Обсудим и их.
KORIOLA



Уважаемый PAV!
В своем доказательстве ВТФ в формуле (9) я допустил опечатку.
Подскажите, пожалуйста, как ее исправить, если на странице уже отсутствует
кнопка"ПРАВКА".
Николай Михайлович

[shwedka]

KORIOLA в сообщении #256972 писал(а):

У меня есть доказательства и для $K$ в первой степени и для $K=A$ и для $K=1$. Я не стал их приводить в предложенном доказательстве, чтобы не обсуждать одновременно разные варианты доказательств, и чтобы не было мешанины и путаницы.

Вы меняв поправьте, если ошибаюсь, но это Ваше заявление следует понимать, что от обсуждаемого слова 'только' вы отказываетесь, доказывать его не намерены, а рассматриваемый случай- всего лишь один из нескольких возможностей.
Это изменение-существенное и требует изменения текста.

Текст изменить совсем просто. Там, где он есть, скопируйте, а потом вклейте в поле для ответа. И там уже изменяйте вволю.


Хорошо,
К другим случаям вернемся потом. Едем дальше

KORIOLA в сообщении #255153 писал(а):

Рассмотрим решение уравнения (10) на числовых примерах .
N =1; A=K;
N =3; A = (1,9129…)• K;
N =5; A = (2,6684…)∙ K
Из приведенных примеров следует, что только при N =1 числа K и A являются целыми числами,

Похожий вопрос. Почему 'только'. Вы рассмотрели три примера, но оставили непроверенными бесконечно много чисел. Почему никакое другое число не годится? Почему не может быть, что где-нибудь на четвертом миллиарде все вдруг получится?