Простой тригонометрический предел

[arseniiv]

Я, видимо, что-то важное упустил, раз не могу преобразовать выражение как должно... Уже все функции друг через друга выражал, и ничего. Скажите, что сделать с этим выражением в первую очередь (дальше я надеюсь сам уже додуматься):

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x - \cos x}} {{1 + \sin 4x - \cos 4x}}$$

[ИСН]

Половинный аргумент.

[arseniiv]

Я его, может, как-то не так применял.
Там же будут радикалы! Это всё вовек не упростить...

[gris]

Имеется в виду, что наверху 1 и всё остальное надо выразить через функции от $x/2$, а внизу от $2x$.

[ИСН]

Именно так.

[AKM]

Делать надо как указано, но вот это удивляет:

arseniiv в сообщении #254151 писал(а):

Там же будут радикалы! Это всё вовек не упростить...

Радикалам там взяться неоткуда. Будут полиномы от $\tg\frac x2$. Быть может, Вы о что-то другое имели в виду?
Речь о выражении триг. функций через тангенс половинного аргумента.

А то и даже синус-косинус сработают (без радикалов), ща попробую.

[ewert]

Давайте по рабоче-крестьянски. Единица минус косинус -- откровенно квадратична по иксам, в то время как синусы -- линейны. Соотв., косинусами с единичками гордо и пренебрегаем, и остаётся лишь тупо ${\sin x\over\sin4x}$, и соотв.

--------------------------------------------------
В смысле это соображение должно быть очевидным, ну а уж как его аккуратно оформить -- это уже дело вкуса

[gris]

а вот без ужасов
$1+\sin 2x-cos 2x=\sin^2x+cos^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x+\sin^2x=2\sin x (\sin x+\cos x)=2\sqrt2\sin x \sin (x+\pi/4)$

[ewert]

ужос

[gris]

Зато без БМ. А так - подставить сразу эквивалентности и делу конец. Или венец.

[Sintanial]

В первую очередь есть замечательное Правило Лаппеталя..... один раз продифференцировал и уже предел считается =)

Вот как получится
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x - \cos x}} {{1 + \sin 4x - \cos 4x}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x + \sin x }} {{4\cos 4x + 4\sin 4x}}=$ так как неопределённость больше нету, то подставляем точку и счетам =)$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(0)=\frac 1 4$

http://dxdy.ru/post264781.html#p264781

[antondm]

arseniiv в сообщении #254149 писал(а):

Я, видимо, что-то важное упустил, раз не могу преобразовать выражение как должно... Уже все функции друг через друга выражал, и ничего. Скажите, что сделать с этим выражением в первую очередь (дальше я надеюсь сам уже додуматься):

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x - \cos x}} {{1 + \sin 4x - \cos 4x}}$$

Простите если че не так напишу, но вот мой ход рассуждений
\begin{gather*} \sin x - \cos x=\frac{1}{\sqrt(2)}\sin x - \frac{1}{\sqrt(2)}\cos x = \sin {(\alpha-x)} \\ \sin 4x - \cos 4x=\frac{1}{\sqrt(2)}\sin 4x - \frac{1}{\sqrt(2)}\cos 4x = \sin {(\alpha-4x)} \\ \text{таким образом наш предел сводится к } \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin {(\alpha-x)}}} {{1 + \sin {(\alpha-4x)}}}\qquad \mbox{где}\qquad \alpha = \frac{\pi}{4} \\ \text{собственно уже тут неопределенность исчезает } \\ \end{gather*}

[gris]

Не так. Не простим. Неверный ход. Тут исчезает, а там не исчезает. И по ТеХу незачОт - что это за корень из скобки?

[antondm]

gris в сообщении #265166 писал(а):

Не так. Не простим. Неверный ход. Тут исчезает, а там не исчезает. И по ТеХу незачОт - что это за корень из скобки?

Собственно где не исчезает?
А я по теху зачот вам и не сдаю.

-- Ср ноя 25, 2009 10:04:55 --

antondm в сообщении #265160 писал(а):

arseniiv в сообщении #254149 писал(а):

Я, видимо, что-то важное упустил, раз не могу преобразовать выражение как должно... Уже все функции друг через друга выражал, и ничего. Скажите, что сделать с этим выражением в первую очередь (дальше я надеюсь сам уже додуматься):

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x - \cos x}} {{1 + \sin 4x - \cos 4x}}$$

Простите если че не так напишу, но вот мой ход рассуждений
\begin{gather*} \sin x - \cos x=\left(\frac{1}{\sqrt2}\sin x - \frac{1}{\sqrt2}\cos x\right)\sqrt2 = \sin {(\alpha-x)} \\ \sin 4x - \cos 4x=\left(\frac{1}{\sqrt2}\sin 4x - \frac{1}{\sqrt2}\cos 4x\right)\sqrt2 = \sin {(\alpha-4x)} \\ \text{таким образом наш предел сводится к } \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin {(\alpha-x)}\sqrt2}} {{1 + \sin {(\alpha-4x)}\sqrt2}}\qquad \mbox{где}\qquad \alpha = \frac{\pi}{4} \\ \text{собственно уже тут неопределенность исчезает } \\ \end{gather*}

Ошибочка вышла, но она везде сокращается поэтому в итоге ответ такой же получится.

[gris]

Ну что же, придётся подробнее.

$$\sin x - \cos x=\sqrt2\cdot(\frac1{\sqrt2}\sin x - \frac1{\sqrt2}\cos x) =\sqrt2\cdot(\cos\frac{\pi}4\sin x -\sin\frac{\pi}4 \cos x) =-\sqrt2\sin (\frac{\pi}4-x)$$

Кстати, "чо" пишется через "о".