Простой тригонометрический предел

[lioness]

А я бы просто по Лопиталю взяла, получится 1/4

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x - \cos x}} {{1 + \sin 4x - \cos 4x}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x + \sin x}} {{4 \cos 4x +4 \sin 4x}}=\frac{{1 + 0}} {{4 + 0}}=\frac{1} {4}$$

[arseniiv]

Тогда нельзя было, а сейчас уже не нужно.

[Koftochka]

А я бы сопрягла числитель и знаменатель:

$\left( {1 + \sin x - \cos x} \right)\left( {1 - \left( {\sin x - \cos x} \right)} \right) = 1 - {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = \sin 2x.$

$\left( {1 + \sin 4x - \cos 4x} \right)\left( {1 - \left( {\sin 4x - \cos 4x} \right)} \right) = 1 - {\left( {\sin 4x - \cos 4x} \right)^2} = \sin 8x.$

$\begin{gathered}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \sin x - \cos x}}{{1 + \sin 4x - \cos 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x\left( {1 - \sin 4x + \cos 4x} \right)}}{{\sin 8x\left( {1 - \sin x + \cos x} \right)}} = \hfill \\= \frac{1}{4}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{8x}}{{\sin 8x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{2x}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \sin 4x + \cos 4x}}{{1 - \sin x + \cos x}} = \hfill \\= \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{{1 - 0 + 1}}{{1 - 0 + 1}} = \frac{1}{4}. \hfill \\ \end{gathered}$