Липшицевость обратной функции

[ZheniaM]

Уважаемые участники!

Наверное глупый вопрос, но что-то похожего в доступной мне литературе не нашёл. Есть известная теорема (теореме о дифференцировании обратной функции) говорящая о том, что если исходная функция является дифференцируемой, то и обратная функция при выполнении некоторых условий является дифференцируемой. А есть ли теорема, которая устанавливает условия, при которых обратная функция будет удовлетворять условию Липшица?...В идеале, конечно, хотелось бы что-то вроде "Если исходная функция удовлетворяет условию Липшица, то и обратная функция удовлетворяет условию Липшица".

Если кто-то видел где-нибудь что-то похожее - дайте ссылку на литературу.

[ewert]

ZheniaM в сообщении #248875 писал(а):

хотелось бы что-то вроде "Если исходная функция удовлетворяет условию Липшица, то и обратная функция удовлетворяет условию Липшица"

А какая функция будет обратной к $f(x)=x^3$?...

[gris]

Липшицева функция, для которой существует обратная тоже липшицева, называется билипшицевой.
Для постороения примеров липшицевых, но не билипшицевых функций, удобно пользоваться теоремой, что дифференцируемая Липшицева функция имеет ограниченную производную( и наоборот).
Ну и чисто графически представить...
Мне больше по душе арктангенс.

[ZheniaM]

ewert в сообщении #248877 писал(а):

А какая функция будет обратной к $f(x)=x^3$?...

$\varphi(y)=y^{1/3}$

gris в сообщении #248885 писал(а):

Липшицева функция, для которой существует обратная тоже липшицева, называется билипшицевой.
Для постороения примеров липшицевых, но не билипшицевых функций, удобно пользоваться теоремой, что дифференцируемая Липшицева функция имеет ограниченную производную( и наоборот).
Ну и чисто графически представить...
Мне больше по душе арктангенс.

Спасибо..А существуют ли условия, когда функция будет билипшицевой?...В каком-нибудь виде...понятно, что можно построить пример, когда функция не будет билипшицевой..но хотелось бы наобарот Получить какие-то достаточные условия...хоть в каком виде

[gris]

Ну, например, дифференцируемая функция с ограниченной с двух сторон числами одного знака производной. Достаточное, но неинтересное условие.

Интересно поковыряться в недифференцируемых функциях. Ну монотонность нужна для существования обратной. Может что-то про ограниченное с двух сторон изменение?

[ZheniaM]

gris в сообщении #248898 писал(а):

Ну, например, дифференцируемая функция с ограниченной с двух сторон числами одного знака производной. Достаточное, но неинтересное условие.

...не, ну это-то и так понятно...Само собой интересуют класс не дифференцируемых функций(иначе вопрос не имело смысла создавать). Про монотонность - тоже понятно (без этого условия про обратную функцию говорить вообще не имеет смысла).

[ewert]

ZheniaM в сообщении #248891 писал(а):

Получить какие-то достаточные условия...хоть в каком виде

Наиболее разумный критерий: функция является билипшицевой тогда и только тогда, когда когда она билипшицева.

Ну а поиграться... Ну например: если функция $f(x)$ монотонно возрастает, то её билипшицевость сводится к существованию некоторого $\alpha>0$, для которого функция $f(x)-\alpha x$ также монотонно возрастает. Только что толку-то?...

[RIP]

Вроде бы очевидно, что возрастающая (для определённости) функция билипшицева тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и её производная ограничена почти всюду сверху и снизу положительными постоянными. Другими словами, с точностью до аддитивной постоянной это интеграл Лебега с переменным верхним пределом от функции, ограниченной почти всюду сверху и снизу положительными постоянными.

[ZheniaM]

ewert в сообщении #248905 писал(а):

Наиболее разумный критерий: функция является билипшицевой тогда и только тогда, когда когда она билипшицева.

Это, конечно, мощно

RIP в сообщении #248908 писал(а):

функция билипшицева тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и её производная ограничена почти всюду сверху и снизу положительными постоянным

Про достаточность - понятно. А необходимость как получается?...Получается, если это верно - то не существует не дифференцируемых билипшицевых функций?

[RIP]

Любая функция ограниченной вариации дифференцируема почти всюду.

[ewert]

RIP в сообщении #248908 писал(а):

Вроде бы очевидно, что возрастающая (для определённости) функция билипшицева тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и её производная ограничена почти всюду сверху и снизу положительными постоянными.

Очевидна достаточность. А вот что из липшицевости следует абсолютная непрерывность (в смысле отсутствие сингулярной составляющей) -- факт довольно тяжёлый.

[RIP]

ewert в сообщении #248924 писал(а):

А вот что из липшицевости следует абсолютная непрерывность (в смысле отсутствие сингулярной составляющей) -- факт довольно тяжёлый.

Но общеизвестный.

[Gafield]

Дифференцируемость в теореме об обратной функции устанавливается поточечно. Аналогом могло бы быть что-то вроде: пусть функция липшицева в окрестности точки $x_0$ и существует $f'(x_0)\ne0$, тогда в некоторой окрестности точки $f(x_0)$ обратная функция тоже будет липшицевой. Существование производной в точке можно попробовать заменить отделенностью от нуля отношения $\Delta f/\Delta x$.

[ZheniaM]

Спасибо всем за ответы!..насколько я понял в том или ином смысле всё равно необходимо существование производной...а жаль