2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 10:58 
Уважаемые участники!

Наверное глупый вопрос, но что-то похожего в доступной мне литературе не нашёл. Есть известная теорема (теореме о дифференцировании обратной функции) говорящая о том, что если исходная функция является дифференцируемой, то и обратная функция при выполнении некоторых условий является дифференцируемой. А есть ли теорема, которая устанавливает условия, при которых обратная функция будет удовлетворять условию Липшица?...В идеале, конечно, хотелось бы что-то вроде "Если исходная функция удовлетворяет условию Липшица, то и обратная функция удовлетворяет условию Липшица".

Если кто-то видел где-нибудь что-то похожее - дайте ссылку на литературу.

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 11:15 
ZheniaM в сообщении #248875 писал(а):
хотелось бы что-то вроде "Если исходная функция удовлетворяет условию Липшица, то и обратная функция удовлетворяет условию Липшица"

А какая функция будет обратной к $f(x)=x^3$?...

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 11:32 
Аватара пользователя
Липшицева функция, для которой существует обратная тоже липшицева, называется билипшицевой.
Для постороения примеров липшицевых, но не билипшицевых функций, удобно пользоваться теоремой, что дифференцируемая Липшицева функция имеет ограниченную производную( и наоборот).
Ну и чисто графически представить...
Мне больше по душе арктангенс.

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 11:53 
ewert в сообщении #248877 писал(а):
А какая функция будет обратной к $f(x)=x^3$?...

$\varphi(y)=y^{1/3}$

gris в сообщении #248885 писал(а):
Липшицева функция, для которой существует обратная тоже липшицева, называется билипшицевой.
Для постороения примеров липшицевых, но не билипшицевых функций, удобно пользоваться теоремой, что дифференцируемая Липшицева функция имеет ограниченную производную( и наоборот).
Ну и чисто графически представить...
Мне больше по душе арктангенс.


Спасибо..А существуют ли условия, когда функция будет билипшицевой?...В каком-нибудь виде...понятно, что можно построить пример, когда функция не будет билипшицевой..но хотелось бы наобарот :) Получить какие-то достаточные условия...хоть в каком виде

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 12:08 
Аватара пользователя
Ну, например, дифференцируемая функция с ограниченной с двух сторон числами одного знака производной. Достаточное, но неинтересное условие.

Интересно поковыряться в недифференцируемых функциях. Ну монотонность нужна для существования обратной. Может что-то про ограниченное с двух сторон изменение?

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 12:12 
gris в сообщении #248898 писал(а):
Ну, например, дифференцируемая функция с ограниченной с двух сторон числами одного знака производной. Достаточное, но неинтересное условие.


:)...не, ну это-то и так понятно...Само собой интересуют класс не дифференцируемых функций(иначе вопрос не имело смысла создавать). Про монотонность - тоже понятно (без этого условия про обратную функцию говорить вообще не имеет смысла).

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 12:26 
ZheniaM в сообщении #248891 писал(а):
Получить какие-то достаточные условия...хоть в каком виде

Наиболее разумный критерий: функция является билипшицевой тогда и только тогда, когда когда она билипшицева.

Ну а поиграться... Ну например: если функция $f(x)$ монотонно возрастает, то её билипшицевость сводится к существованию некоторого $\alpha>0$, для которого функция $f(x)-\alpha x$ также монотонно возрастает. Только что толку-то?...

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 12:29 
Аватара пользователя
Вроде бы очевидно, что возрастающая (для определённости) функция билипшицева тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и её производная ограничена почти всюду сверху и снизу положительными постоянными. Другими словами, с точностью до аддитивной постоянной это интеграл Лебега с переменным верхним пределом от функции, ограниченной почти всюду сверху и снизу положительными постоянными.

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 12:36 
ewert в сообщении #248905 писал(а):
Наиболее разумный критерий: функция является билипшицевой тогда и только тогда, когда когда она билипшицева.

:D :D :D :D :D :D
Это, конечно, мощно :D

RIP в сообщении #248908 писал(а):
функция билипшицева тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и её производная ограничена почти всюду сверху и снизу положительными постоянным


Про достаточность - понятно. А необходимость как получается?...Получается, если это верно - то не существует не дифференцируемых билипшицевых функций?

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 12:50 
Аватара пользователя
Любая функция ограниченной вариации дифференцируема почти всюду.

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 13:29 
RIP в сообщении #248908 писал(а):
Вроде бы очевидно, что возрастающая (для определённости) функция билипшицева тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и её производная ограничена почти всюду сверху и снизу положительными постоянными.

Очевидна достаточность. А вот что из липшицевости следует абсолютная непрерывность (в смысле отсутствие сингулярной составляющей) -- факт довольно тяжёлый.

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 13:38 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #248924 писал(а):
А вот что из липшицевости следует абсолютная непрерывность (в смысле отсутствие сингулярной составляющей) -- факт довольно тяжёлый.
Но общеизвестный.

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 17:09 
Дифференцируемость в теореме об обратной функции устанавливается поточечно. Аналогом могло бы быть что-то вроде: пусть функция липшицева в окрестности точки $x_0$ и существует $f'(x_0)\ne0$, тогда в некоторой окрестности точки $f(x_0)$ обратная функция тоже будет липшицевой. Существование производной в точке можно попробовать заменить отделенностью от нуля отношения $\Delta f/\Delta x$.

 
 
 
 Re: Липшицевость обратной функции
Сообщение04.10.2009, 17:47 
Спасибо всем за ответы!..насколько я понял в том или ином смысле всё равно необходимо существование производной...а жаль :cry:

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group