Найти решение СЛАУ

[Марк]

Заданная система:
$ \left\{ \begin{array}{l} -0,45x_1-0,35x_2+0,38x_3=0,\\ -0,35x_1-0,45x_2+0,14x_3=0,\\ 0,38x_1-0,14x_2-0,45x_3=0, \end{array} \right. $
в качестве решения дан вектор:
$x = \left( \begin{array}{ccc} 0,3321 & -0,1851 & 0,223 \\ \end{array} \right) $
Не могу понять как получить этот ответ.
Пробовал решать разными методами (Гаусса, Крамера, Обратной Матрицей) в системе MathCAD и Excel.
В качестве ответа получал нулевой вектор. Это связанно с тем, что в правой части уравнений нули. Меняя нули на очень близкие значения к нулю данные ответы так и не удалось получить.
Так как же получить данное решение?

[Ryabsky]

кривовато задача поставлена. если решать конкретно эту СЛУ, то у нее решение единственное, а значит это решение - нулевой вектор. да и вообще, приведенный вектор не удовлетворяет системе. может быть там надо что-то другое найти?

[AKM]

Марк в сообщении #248593 писал(а):

В качестве ответа получал нулевой вектор. Это связанно с тем, что в правой части уравнений нули.

Важно ещё то, что определитель матрицы НЕ ноль (0.02016). Значит, очевидное нулевое решение --- единственно. Один из вариантов решения проблемы --- поискать опечатку или описку.

-- Сб окт 03, 2009 12:43:31 --

Матрица симметрична. Не стоит ли за этим неправильно рещённая задачка на собственные значения, одно из которых есть -0.45?

[Maslov]

AKM в сообщении #248644 писал(а):

Матрица симметрична.

Она НЕ симметрична: $a_2_3 = 0.14, a_3_2 = -0.14$. Если ее сделать симметричной ($a_3_2 = 0.14$), определитель будет почти нулевой.

[gris]

Марк писал(а):

Пробовал решать разными методами (Гаусса, Крамера, Обратной Матрицей) в системе MathCAD и Excel.

Не знаю, как Mathcad, но Excel у меня срaзу выдал именно такой ответ, как у Вас:

Цитата:

MS Excel Solver results: 0,332100; -0,185100; 0,223000

Я, правда, левую часть слегка изменил, вбив наугад небольшие числа
0,000080
-0,001720
-0,061816.

Но результат именно таков, я перепроверил и в маткаде, и на калькуляторе, и вручную.

PS. Пардон, правую часть. Я право и лево постоянно путаю. А с толку не сбиваю Ну не наугад, хорошо. Первые два нуля ставил осознанно.

[ewert]

gris в сообщении #248651 писал(а):

вбив наугад

Вбить -- можно, а вот сбивать с толку -- нехорошо. И, кстати, не в левую.

[AKM]

Maslov в сообщении #248649 писал(а):

AKM в сообщении #248644 писал(а):

Матрица симметрична.

Она НЕ симметрична:

Виноват. Два прокола в одно утро --- надо подумать о причинах.

[Марк]

AKM в сообщении #248678 писал(а):

Виноват. Два прокола в одно утро --- надо подумать о причинах.

Один. Другой за мной: матрица всетаки симметрична, $a_3_2 = 0.14$.
Тогда:
$ \left\{ \begin{array}{l} -0,45x_1-0,35x_2+0,38x_3=0,\\ -0,35x_1-0,45x_2+0,14x_3=0,\\ 0,38x_1+0,14x_2-0,45x_3=0, \end{array} \right. $

AKM в сообщении #248644 писал(а):

Матрица симметрична. Не стоит ли за этим неправильно рещённая задачка на собственные значения, одно из которых есть -0.45?

Система построена на основе матрицы $R$ - матрица парных корреляций нормированных данных и матрицы $\Lambda$ - диагональная матрица ранжированых по убыванию собственных значений матрицы корреляций $R$.
$ R = \left( \begin{array}{ccc} 1,00 & -0,35 & 0,38 \\ -0,35 & 1,00 & 0,14 \\ 0,38 & 0,14 & 1,00 \end{array} \right) $; $ \Lambda = \left( \begin{array}{ccc} 1,45 & 0,00 & 0,00 \\ 0,00 & 1,14 & 0,00 \\ 0,00 & 0,00 & 0,41 \end{array} \right) $;
Система уравнений имеет вид:
$ \left\{ \begin{array}{с} (1-\lambda_{11})x_{1}+r_{12}x_{2}+r_{13}x_{3},\\ r_{21}x_{1}+(1-\lambda_{11})x_{2}+r_{23}x_{3},\\ r_{31}x_{1}+r_{32}x_{2}+(1-\lambda_{11})x_{3}, \end{array} \right. $
-- Получается три таких системы, для $\lambda_{11}$, $\lambda_{22}$ и $\lambda_{33}$

В вопросе я привел одну систему при $\lambda_{11}$. Остальные системы имееют подобный "непонятный" ход решения.

Еще есть такой комментарий к решению системы:

Цитата:

Приведенная система объединяет однородные линейно зависимые уранвения, и посколько количество её уравнений равно количеству неизвестных, то система имеет бесконечное число решений. Конкретные значения собственных векторов (в вопросе: вектор $x$) можно найти, задавая произвольно величену одной компоненты каждого вектора. Обычно, что бы не усложнять расчетов, её приравнивают еденицы.

-- Сб окт 03, 2009 14:32:02 --

gris в сообщении #248651 писал(а):

Ну не наугад, хорошо. Первые два нуля ставил осознанно.

Да, я тоже так пробовал.
Но вот какие значения ставить, если решение системы не известно, а нулевое - не корректно.

[gris]

Вам нужно найти собственные векторы?
Собственные значения правильно нашли.
Собственный вектор для второго значения у Вас в ответе (с учётом 0.14).
Почему в маткаде не получилось?
Функция eigenvecs просто даёт отнормированные векторы.
Коэффициент пропорциональности с Вашим -0.44

Для нахождения собственных векторов система всегда получается с определителем, равным нулю. И решать её методом обратной матрицы или Крамера, конечно нельзя. По Гауссу остаются два (в вашем случае) уравнения. Как обычно, выделяем свободную переменную. Выражаем через неё две базисных. Всё прекрасно получается.

В Вашем случае решение имеет вид $(-0.753c; 0.428c;-0.5c)$
А уж выбор $c$ зависит от того, каким условиям должен удовлетворять собственный вектор.

[Марк]

Благодарю. Разобрался.