Вычисление обратной матрицы специального вида

[bubu gaga]

Дано уравнение $\omega X = \zeta$, где столбец $i$ матрицы $X$ равен первому столбцу, возведённому поэлементно в степень $i$

$$\left[\begin{matrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n - 1} \\ & & \cdots & & \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n - 1} \\ \end{matrix}\right]$$

$x_1, \dots, x_n$ могут быть какими угодно

Про обращении матрицы $X$ матлаб ругается, мол такие матрицы я обращать не умею. По идее, если домножить левую и правую части на "хорошую" диагональную матрицу $D$ можно значительно упростить задачу.

Собственно вопрос, есть ли способ для заданной матрицы $X$ нахождения такой $D$, чтобы $(X D)^{-1}$ легко вычислялось на компьютере.

Спасибо!

[jetyb]

Можно попробовать так:
Решим для всех $i$ уравнение $X\omega=\delta_i$, где $\delta_i$ - столбец с единицей на $i$ месте и нулями на остальных. Оно эквивалентно задаче нахождения коэффицентов интерполяционного многочлена Лагранжа, которые получаются из формул Виета. Решив эту задачу, мы получим столбцы $X^{-1}\delta_i $, из которых можно составить матрицу $X^{-1}$.

[maxal]

bubu gaga в сообщении #241453 писал(а):

$$\left[\begin{matrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n - 1} \\ & & \cdots & & \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n - 1} \\ \end{matrix}\right]$$

Это т.н. матрица Вандермонда - см. http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
Она обратима только если все $x_i$ попарно различны. Явная формула для обратной матрицы дается в статье: http://www.jstor.org/pss/2308881

[bubu gaga]

Спасибо!

[ewert]

maxal в сообщении #242221 писал(а):

Явная формула для обратной матрицы дается в статье: http://www.jstor.org/pss/2308881

Занятная статья. Явной формулы там нет (там только первая страничка), но возникает интересный вопрос: а что, к 1958-му году в Штатах интерполяционный многочлен Лагранжа был ещё не известен?

Кроме того, они ещё зачем-то желают, чтобы узлы были different from zero. Сплошные загадки.

[maxal]

ewert в сообщении #242246 писал(а):

Занятная статья. Явной формулы там нет (там только первая страничка), но возникает интересный вопрос: а что, к 1958-му году в Штатах интерполяционный многочлен Лагранжа был ещё не известен?

Ну так я и не утверждал, что там формула приведена на первой странице. И с чего вы взяли, что интерполяционный многочлен Лагранжа был им не известен?

[ewert]

А если известен, то зачем статья? Просто раскрыть в этом многочлене скобки -- и всё.

[maxal]

Об этом и статья - аккуратно раскрыть скобки, упростить получающиеся выражения, отдельно рассмотреть случай, когда $x_i$ образуют арифметическую прогрессию (и формулы получаются проще) - вполне на 6 страниц тянет. А потом она же опубликована в относительно популярном журнале American Mathematical Monthly, где аудитории принято все как следует разжевывать.

[B@R5uk]

В связи с тем, что американский журнал не позволяет свободно скачивать свои материалы, предлагаю отечественный вариант того же самого. К сожалению не имею возможности сравнить, какой из этих двух материалов лучше в объяснении или полнее.

[maxal]

B@R5uk в сообщении #966755 писал(а):

американский журнал не позволяет свободно скачивать свои материалы

Скачивать не дает, но читать в онлайн - пожалуйста (после бесплатной регистрации) - для этого надо кликнуть на кнопку "Read Online".

[nnosipov]

B@R5uk в сообщении #966755 писал(а):

В связи с тем, что американский журнал не позволяет свободно скачивать свои материалы

Где-то на рутрекере давно лежит за последние лет 100.

[B@R5uk]

nnosipov, спасибо за совет, нашёл, качаю. Интерес к вопросу остался, потому что в отечественном варианте хоть и явная, но рекуррентная формула (частично).