2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Формула для пифагоровых троек
Сообщение01.09.2009, 19:23 
Аватара пользователя
Всем известна формула Пифагоровых троек:
$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2$.
Докажите, что других решений нет. Или же приведите другое решение!

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение01.09.2009, 21:45 
age в сообщении #239663 писал(а):
Всем известна формула Пифагоровых троек:
$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2$.
Докажите, что других решений нет. Или же приведите другое решение!

Тут метод бесконечного спуска, предложенный мэтром Ферма, хорошо работает.

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение01.09.2009, 23:10 
Аватара пользователя
VAL
Хороший ответ! :D
А поподробней расписать? :D

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 00:21 
age в сообщении #239758 писал(а):
VAL
Хороший ответ! :D
А поподробней расписать? :D

Если подробнее, то, во-первых, утверждение верно только для примитивных троек.
Например, для пифагоровой тройки $9^2+12^2=15^2$ подходящих $a$ и $b$ не найти, 15 не представляется суммой двух квадратов.

Что же касается примитивных троек, честное слово,то ли видел где-то, то ли сам делал именно через бесконечный спуск. А сейчас стал доказывать, быстро доказал, но, ... без всякого спуска.

Примерно так:
Пусть $x^2+y^2=z^2$ - примитивная пифагорова тройка. Тогда, очевидно, $x$ и $y$ разной четности. Пусть, например четно $x$. Нам надо показать, что система
$\left\{\begin{array}{l}a^2+b^2=z\\ a^2-b^2=y \end{array}\right.$ имеет решение в натуральных числах. То есть, числа $\frac{z+y}2$ и $\frac{z-y}2$ являются полными квадратами.
Пусть $p$ - простой делитель $\frac{z+y}2$. Тогда $p$ делит $\frac{z+y}2\frac{z-y}2=\frac{x^2}4$. Тогда $p^2$ делит $\frac{z+y}2\frac{z-y}2$, а в силу взаимной простоты и $\frac{z+y}2$. Ч.т.д.

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 00:27 
VAL в сообщении #239774 писал(а):
Например, для пифагоровой тройки $9^2+13^2=15^2$
Это в какой системе счисления написано?
Наверно, вы имели в виду $9^2+12^2=15^2$.

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 06:57 
venco в сообщении #239775 писал(а):
VAL в сообщении #239774 писал(а):
Например, для пифагоровой тройки $9^2+13^2=15^2$
Это в какой системе счисления написано?
Наверно, вы имели в виду $9^2+12^2=15^2$.
Конечно! Мимо кнопки промахнулся :(

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 12:35 
Аватара пользователя
VAL
Формулу, вы правы, действительно можно подкорректировать:
$k^2(a^2-b^2)^2+4k^2a^2b^2=k^2(a^2+b^2)^2$. :D
Вы доказали, что любой простой делитель $p\in a^2$ делит $\dfrac{x^2}{4}$. И при этом сам является квадратом. Ну и что? Может быть существует иное решение, отличное от $(a^2-b^2)^2+4a^2b^2=(a^2+b^2)^2$? Где это видно?

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 12:53 
Аватара пользователя
$x^2=4\frac{z+y}{2}\frac{z-y}{2},$ поэтому $\frac{z+y}{2}$ и $\frac{z-y}{2}$ оба являются полными квадратами. Что ещё надо?

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 13:55 
Не очень понятно, что Вы хотите выяснить?
Пифагоровы тройки получаются из общего уравнения для натуральных чисел $x$ и $y$ одновременно четных или одновременно нечетных:
$N=xy=(\frac {x+y}{2})^2-(\frac {x-y}{2})^2$
путем подстановки:
$x=a^2$; $y=b^2$
$N=a^2b^2=(\frac {a^2+b^2}{2})^2-(\frac {a^2-b^2}{2})^2$.
Далее идут вариации на тему, как Вы распределили простые множители числа $N$ между $x$ и $y$,
например, в своем контр-примере VAL распределил их так:
$ 9^2+12^2=15^2$

$ N = 9^2=27\cdot 3=(\frac {27+3}{2})^2-(\frac {27-3}{2})^2$
или
$ N = 12^2=24\cdot 6=(\frac {24+6}{2})^2-(\frac {24-6}{2})^2$.

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 20:34 
Аватара пользователя
TOTAL
Предположим случай:
$\dfrac{z+y}{2}=2a^2$
$\dfrac{z-y}{2}=\dfrac{b^2}{2}$
Я уже молчу про случай:
$\dfrac{z+y}{2}=2a^2b$
$\dfrac{z-y}{2}=\dfrac{b}{2}$
Нет, это неправильное решение.

-- Ср сен 02, 2009 21:35:18 --

Батороев
А вдруг есть другие решения вне этой подстановки? :D

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 21:00 
age в сообщении #239922 писал(а):
Предположим случай:
$\dfrac{z+y}{2}=2a^2$
$\dfrac{z-y}{2}=\dfrac{b^2}{2}$
Я уже молчу про случай:
$\dfrac{z+y}{2}=2a^2b$
$\dfrac{z-y}{2}=\dfrac{b}{2}$
Нет, это неправильное решение.

-- Ср сен 02, 2009 21:35:18 --
Вы смысл термина "примитивные тройки" понимаете? Похоже, нет.

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 21:33 
Аватара пользователя
VAL
$33^2+56^2=65^2$ - примитивная Пифагорова тройка?

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 22:17 
age в сообщении #239939 писал(а):
VAL
$33^2+56^2=65^2$ - примитивная Пифагорова тройка?
Вполне.

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 22:47 
Аватара пользователя
VAL
В своем доказательстве вы уже априори предполагаете, что
$z=a^2+b^2$
$x=a^2-b^2$
Откуда приходите что $\dfrac{z+x}{2}$ и $\dfrac{z-x}{2}$ - взаимно простые квадраты.
Так не пойдет. Это не отменяет других решений.

 
 
 
 Re: Пифагорово разложение
Сообщение02.09.2009, 23:31 
age в сообщении #239958 писал(а):
VAL
В своем доказательстве вы уже априори предполагаете, что
$z=a^2+b^2$
$x=a^2-b^2$
Откуда приходите что $\dfrac{z+x}{2}$ и $\dfrac{z-x}{2}$ - взаимно простые квадраты.
Так не пойдет. Это не отменяет других решений.
Я доказываю, что всякая примитивная пифагорова тройка представляется в требуемом виде. Вам нужно что-то другое? Тогда я не понял вопроса.

PS: По сравнению с уничтоженным вариантом ответа у Вас прогресс :)

 
 
 [ Сообщений: 88 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group