Где симметричное неравенство обращается в равенство?

[Сергей Маркелов]

В треугольнике $ABC$ обозначим $R=$ радиус описанной окружности, $r=$ радиус вписанной окружности, $p=$ половина периметра.

Докажите, что нижеследующее неравенство верно в любом треугольнике, причём равенство достигается НЕ в равностороннем треугольнике. Найдите углы того треугольника, в котором данное неравенство обращается в равенство.

$$ \[ p^{2}\,\leq\,\frac{25}{3}\,r^{2}+\frac{75}{16}\,R^{2} \] $$

Я потратил много времени на попытки придумать это симметричное неравенство, которое обращается в равенство в неравностороннем треугольнике. Буду благодарен, если Вы напишете Ваше решение или комментарий.

Спасибо.
Сергей Маркелов

[VAL]

Сергей Маркелов в сообщении #238752 писал(а):

В треугольнике $ABC$ обозначим $R=$ радиус описанной окружности, $r=$ радиус вписанной окружности, $p=$ половина периметра.

Докажите, что нижеследующее неравенство верно в любом треугольнике, причём равенство достигается НЕ в равностороннем треугольнике. Найдите углы того треугольника, в котором данное неравенство обращается в равенство.

$$ \[ p^{2}\,\leq\,\frac{25}{3}\,r^{2}+\frac{75}{16}\,R^{2} \] $$

Легко доказывается, что равенство достигается в равнобедренном треугольнике с отношением сторон 2:2:1.
А вот как доказать неравенство... думать надо.

Цитата:

Сергей Маркелов

Рад приветствовать старого знакомого по ru.math на dxdy!

[Сергей Маркелов]

VAL в сообщении #238902 писал(а):

Сергей Маркелов в сообщении #238752 писал(а):

В треугольнике $ABC$ обозначим $R=$ радиус описанной окружности, $r=$ радиус вписанной окружности, $p=$ половина периметра.

Докажите, что нижеследующее неравенство верно в любом треугольнике, причём равенство достигается НЕ в равностороннем треугольнике. Найдите углы того треугольника, в котором данное неравенство обращается в равенство.

$$ \[ p^{2}\,\leq\,\frac{25}{3}\,r^{2}+\frac{75}{16}\,R^{2} \] $$

Легко доказывается, что равенство достигается в равнобедренном треугольнике с отношением сторон 2:2:1.
А вот как доказать неравенство... думать надо.

Цитата:

Сергей Маркелов

Рад приветствовать старого знакомого по ru.math на dxdy!

Владимир, добрый день, рад Вас слышать!

Чтобы не портить другим удовольствие, пока не буду комментировать, верно ли Вы нашли треугольник, в котором достигается равенство. Спрошу о другом. Какими рассуждениями Вы его нашли? Позволяют ли эти рассуждения убедиться, что такой треугольник ровно один?

Спасибо.
С уважением,
Сергей Маркелов
P.S. Так вот что такое 2:5055, Волгоград!

[gris]

Неравенство можно переписать в виде

$$ \frac {p^2}{75}\,\leqslant\,\frac{r^2}{9}+\frac{R^2}{16} $$

[VAL]

Сергей Маркелов в сообщении #238908 писал(а):

Чтобы не портить другим удовольствие, пока не буду комментировать, верно ли Вы нашли треугольник, в котором достигается равенство.

Это секрет Полишинеля! Ведь для конкретного, тем более, столь хорошего треугольника, это легко проверяется.

Цитата:

Спрошу о другом. Какими рассуждениями Вы его нашли? Позволяют ли эти рассуждения убедиться, что такой треугольник ровно один?

Полагаю, можно просто найти наибольшее значение функции двух переменных (задающих треугольник с точностью для подобия) в заданной области.
Но я, вооружившись любимым maple'ом, действовал экспериментально, потратив на написание малюсенькой программы и обнаружение подходящего треугольника менее пяти минут.

Цитата:

P.S. Так вот что такое 2:5055, Волгоград!

Верно! Глядишь, и я скоро расшифрую МЦНМО

[Сергей Маркелов]

VAL в сообщении #238920 писал(а):

Полагаю, можно просто найти наибольшее значение функции двух переменных (задающих треугольник с точностью для подобия) в заданной области. Но я, вооружившись любимым maple'ом, действовал экспериментально, потратив на написание малюсенькой программы и обнаружение подходящего треугольника менее пяти минут.

Очень интересно. А можно попросить Вас протестировать Вашу программу на ещё одном случае, пожалуйста? Нижеследующее неравенство верно во всех треугольниках, но обращается в равенство в двух различных треугольниках. Оно несколько громозкое, но тут уж ничего не поделаешь, других таких нет -- если я нигде не ошибся, это единственное неравенство в своём классе, которое обращается в равенство в двух различных треугольниках. Если изменить коэффициенты, равенство будет достигаться ровно в одном треугольнике (либо вообще не будет достигаться).

$$ \[ p^{2}\,\leq\,\frac{1}{4}\,(23-\sqrt{17})\,R^{2}+(4+\sqrt{17})\,r^{2} \] $$

Спасибо.
С уважением,
Сергей Маркелов

[gris]

Можно выразить полупериметр и радиусы через площадь и углы треугольника. Потом сократить на площадь и получить функцию от двух углов, даже от половинок этих углов.

[VAL]

Сергей Маркелов в сообщении #238928 писал(а):

Очень интересно. А можно попросить Вас протестировать Вашу программу на ещё одном случае, пожалуйста? Нижеследующее неравенство верно во всех треугольниках, но обращается в равенство в двух различных треугольниках. Оно несколько громозкое, но тут уж ничего не поделаешь, других таких нет -- если я нигде не ошибся, это единственное неравенство в своём классе, которое обращается в равенство в двух различных треугольниках.

$$ \[ p^{2}\,\leq\,\frac{1}{4}\,(23-\sqrt{17})\,R^{2}+(4+\sqrt{17})\,r^{2} \] $$

Один треугольник равносторонний. Ну а другой равнобедренный. Отношение боковой стороны к основанию, наверное, иррационально, по-видимому $\frac{3+\sqrt{17}}4:1$.

[arqady]

Сергей Маркелов в сообщении #238752 писал(а):

В треугольнике $ABC$ обозначим $R=$ радиус описанной окружности, $r=$ радиус вписанной окружности, $p=$ половина периметра.

Докажите, что нижеследующее неравенство верно в любом треугольнике, причём равенство достигается НЕ в равностороннем треугольнике. Найдите углы того треугольника, в котором данное неравенство обращается в равенство.

$$ \[ p^{2}\,\leq\,\frac{25}{3}\,r^{2}+\frac{75}{16}\,R^{2} \] $$

Сергей, Ваше неравенство, по моему, должно доказываться ( или опровергаться )
с помощью моего $uvw$ метода. Может быть, числа будут немножко большие, а так... не вижу принципиальных проблем.

-- Сб авг 29, 2009 17:06:03 --

Доказал! Оно верно.
Вот ещё неравенство про $R$ и $r.$
Докажите, что в треугольнике со сторонами $a,$ $b$ и $c$ выполняется:

$$\frac{R}{2r}\geq1+\frac{(3+\sqrt5)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}{2(ab+ac+bc)}$$

[Сергей Маркелов]

arqady в сообщении #238943 писал(а):

Сергей Маркелов в сообщении #238752 писал(а):

В треугольнике $ABC$ обозначим $R=$ радиус описанной окружности, $r=$ радиус вписанной окружности, $p=$ половина периметра.

Докажите, что нижеследующее неравенство верно в любом треугольнике, причём равенство достигается НЕ в равностороннем треугольнике. Найдите углы того треугольника, в котором данное неравенство обращается в равенство.

$$ \[ p^{2}\,\leq\,\frac{25}{3}\,r^{2}+\frac{75}{16}\,R^{2} \] $$

Сергей, Ваше неравенство, по моему, должно доказываться ( или опровергаться ) с помощью моего $uvw$ метода. Может быть, числа будут немножко большие, а так... не вижу принципиальных проблем.

-- Сб авг 29, 2009 17:06:03 --

Доказал! Оно верно.

Михаил, можно Вас попросить рассказать Ваше доказательство, пожалуйста? Заранее спасибо. Сергей

VAL в сообщении #238937 писал(а):

Сергей Маркелов в сообщении #238928 писал(а):

Очень интересно. А можно попросить Вас протестировать Вашу программу на ещё одном случае, пожалуйста? Нижеследующее неравенство верно во всех треугольниках, но обращается в равенство в двух различных треугольниках. Оно несколько громозкое, но тут уж ничего не поделаешь, других таких нет -- если я нигде не ошибся, это единственное неравенство в своём классе, которое обращается в равенство в двух различных треугольниках.

$$ \[ p^{2}\,\leq\,\frac{1}{4}\,(23-\sqrt{17})\,R^{2}+(4+\sqrt{17})\,r^{2} \] $$

Один треугольник равносторонний. Ну а другой равнобедренный. Отношение боковой стороны к основанию, наверное, иррационально, по-видимому $\frac{3+\sqrt{17}}4:1$.

Очень интересно. Владимир, можно Вас попросить рассказать, что у Вас за программа в Maple, пожалуйста? С моей колокольни нахождение, где подобное неравенство обращается в равенство -- вовсе непростая задача. Я много, очень много думал, прежде чем смог привести эти примеры неравенств на R,r,p, которые обращаются в равенство в нетривиальном треугольнике (или в двух треугольниках). А тут выясняется, что есть программа в Maple, которая это умеет. Интересно узнать. Заранее спасибо. Сергей

[VAL]

Сергей Маркелов в сообщении #239940 писал(а):

VAL в сообщении #238937 писал(а):

Один треугольник равносторонний. Ну а другой равнобедренный. Отношение боковой стороны к основанию, наверное, иррационально, по-видимому $\frac{3+\sqrt{17}}4:1$.

Очень интересно. Владимир, можно Вас попросить рассказать, что у Вас за программа в Maple, пожалуйста? С моей колокольни нахождение, где подобное неравенство обращается в равенство -- вовсе непростая задача. Я много, очень много думал, прежде чем смог привести эти примеры неравенств на R,r,p, которые обращаются в равенство в нетривиальном треугольнике (или в двух треугольниках). А тут выясняется, что есть программа в Maple, которая это умеет. Интересно узнать.

Сергей, Вы будете разочарованы. Ничего интересного. Простая подгонка в полу-интерактивном режиме:

S:=(a,b,c)->sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c))/4;
  S := (a, b, c) ->

        1/4 sqrt((a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (-a + b + c))

> p:=(a,b,c)->(a+b+c)/2;

               p := (a, b, c) -> 1/2 a + 1/2 b + 1/2 c

> R:=(a,b,c)->a*b*c/4/S(a,b,c);

                                           a b c
                   R := (a, b, c) -> 1/4 ----------
                                         S(a, b, c)

> a:=10:for b from 10 to 60 do  
> for c from b to b+9 do  
> t:=evalf(p(a,b,c)^2/((4+sqrt(17))*(S(a,b,c)/p(a,b,c))^2+(23-sqrt(17))/4*R(a,b,c)^2)):
> if t>.99 then print(a,b,c,t) fi 
> od od:

Затем визуально отслеживаю, где отношение приближается к 1, сужаю область поиска и уменьшаю шаг. Как видите, все тривиально.

Процесс можно было бы и автоматизировать. Но и при таком подходе на поиск нужных треугольников уходит (вместе с написанием кода) несколько минут.

PS: Разумеется, мое замечание "всё тривиально" относится к ситуации, когда нужное неравенство уже дано и требуется лишь отыскать подходящие треугольники.