теорема о равенстве функций с одинаковыми дифференциалами

[Roman80]

Как доказать, что если равны дифференциалы функций, то равны и функции (с точностью до константы)? Ни Фихтенгольц, ни в Ильин об этм не пишут!

[ewert]

Достаточно того, что вдоль любой прямой совпадают производные по направлению этой прямой -- тем самым вопрос сводится к одномерному.

[Roman80]

Хы, меня интересует доказательство именно для одномерного случая!

[AD]

Ну то есть дано, что производные в каждой точке равны?

Из-за линейности всего всё сводится к такому факту: если производная есть всюду ноль, то функция есть константа.

Докажем вспомогательное утверждение: если производная неотрицательна, то функция неубывает.

А это уже доказывается, например, делением пополам (пусть $f(b)<f(a)$, тогда разделим $[a,b]$ пополам ...)

Только заблаговременно надо прибавить $\varepsilon x$, то есть доказывать надо, что неубывать будет функция $f(x)+\varepsilon x$ для всех $\varepsilon>0$.

[Roman80]

Я имею в виду вот что : Пусть dy=f(x)dx тогда y=int(f(x))+C, но как доказать, что можно интегрировать обе части? Элементарщина, но в библиях матана этого нет.

[ewert]

А не надо интегрировать -- эта теорема идёт до понятия интеграла. Классический способ доказательства. Пусть на промежутке $[a;b]$ функция не константа. Берём любую $c\in(a;b]$, для которой $f(c)-f(a)\neq0$. Тогда по теореме Лагранжа найдётся $d\in(a;c)$ такая, что $f'(d)\neq0$. Такое или примерно такое доказательство есть в любом учебнике.

[Roman80]

ewert в сообщении #235003 писал(а):

А не надо интегрировать -- эта теорема идёт до понятия интеграла. Классический способ доказательства. Пусть на промежутке $[a;b]$ функция не константа. Берём любую $c\in(a;b)$, для которой $f(c)-f(a)\neq0$. Тогда по теореме Лагранжа найдётся $d\in(a;c)$ такая, что $f'(d)\neq0$. Такое или примерно такое доказательство есть в любом учебнике.

Гм, теорема Лагранжа это хорошо, но каким образом она помогает доказать требуемое?

[ewert]

По теореме Лагранжа существует $d\in(a;c)$ такая, что $f'(d)={f(c)-f(a)\over c-a}\ \Rightarrow\ f'(d)\neq0$.

[Roman80]

ewert в сообщении #235005 писал(а):

По теореме Лагранжа существует $d\in(a;c)$ такая, что $f'(d)={f(c)-f(a)\over c-a}\ \Rightarrow\ f'(d)\neq0$.

Ewert, я знаю теорему Лагранжа, но моя тупость не позволяет понять, как ее использовать для доказательства!

[ewert]

Ну всё же написано, причём дословно.

Доказано: если функция не константа, то хоть в одной точке её производная -- не ноль.

Или, что эквивалентно: если производная функции во всех точках равна нулю, то сама функция -- это константа.

[Roman80]

ewert в сообщении #235009 писал(а):

Доказано: если функция не константа, то хоть в одной точке её производная -- не ноль.

Или, что эквивалентно: если производная функции во всех точках равна нулю, то сама функция -- это константа.

Я с этим согласен, cпасибо. А как доказать, что если равны дифференциалы функций, то равны и функции?

[ewert]

А что такое дифференциал?

[Roman80]

ewert в сообщении #235040 писал(а):

А что такое дифференциал?

dy=y'dx
ну и...?

[ewert]

Т.е. дифференциал однозначно определяется значением производной (т.к. $dx$ -- это просто свободная переменная и ничего более). Ну и?...

[Roman80]

Вы хотите сказать, что если мы докажем, что из равенства производных вытекает равенство функций, то для равенства дифференциалов это следует автоматически. Спору нет! Но вначале это нужно доказать для производных, а теорема Лагранжа ничего подобного не доказывает.