Геометрический вывод ПЛ.

[Mark1]

igorelki в сообщении #226675 писал(а):

Munin в сообщении #226660 писал(а):

Из инвариантов можно получать преобразования, когда инвариантов известен полный набор.

Что-то не совсем понял - разве не достаточно одного - основного инварианта, ведь из него можно получить полный набор всех остальных?

Я тоже считал, что достаточно одного - основного инварианта. Так В. Паули (СТО, 1991г, стр. 40) объясняет, что из ПО и 2-го постулата получена группа Лоренца и ее инвариант. И СТО с математической точки зрения является теорией инвариантов этой группы. Eе геометрическое представление дает соответствующее обобщение векторного и тензорного исчисления. Это обобщение порождает много других инвариантов, но на основе того же исходного.
Или Вы, Munin, имеете в виду не конкретно СТО, а что в общем случае теория может иметь несколько независимых базовых инвариантов?

[nestoklon]

igorelki в сообщении #226638 писал(а):

все преобразования получают из инвариантов

Чушь.

igorelki в сообщении #226675 писал(а):

Что-то не совсем понял - разве не достаточно одного - основного инварианта, ведь из него можно получить полный набор всех остальных?

Во-первых, инвариантов может быть несколько. Во-вторых, одних инвариантов не хватит чтобы однозначно определить всю группу преобразований. Ну, по крайней мере, не всегда. Дело в том, что бывают не только инварианты, но и функции, преобразующиеся по другим неприводимым представлениям.

Munin в сообщении #226660 писал(а):

Ну, если вы требуете от igorelki строгого выполнения аксиом метрики, не годятся поблажки на других фронтах.

Не, я поправлял его в основном там, где это важно или где ведёт к недопониманию. Я попросил его формулировать почётче, чтобы его всегда понимали правильно. А потом пошёл трёп. =)

[Munin]

ewert в сообщении #226665 писал(а):

На всём множестве пар. Это просто квантовомеханическая аксиома.

Нет, там куча оговорок про квадратичную интегрируемость и тому подобное.

igorelki в сообщении #226675 писал(а):

Что-то не совсем понял - разве не достаточно одного - основного инварианта, ведь из него можно получить полный набор всех остальных?

Когда инвариант один, его и достаточно.

nestoklon в сообщении #226708 писал(а):

Во-вторых, одних инвариантов не хватит чтобы однозначно определить всю группу преобразований. Ну, по крайней мере, не всегда. Дело в том, что бывают не только инварианты, но и функции, преобразующиеся по другим неприводимым представлениям.

Да, этого я не сообразил.

[ewert]

Munin в сообщении #226710 писал(а):

Нет, там куча оговорок про квадратичную интегрируемость и тому подобное.

И это -- правильные оговорки. Без этого теория оказывается некорректной, иногда и в сугубо физическом смысле.

[nestoklon]

Munin в сообщении #226710 писал(а):

Да, этого я не сообразил.

Самое забавное, что в принципе igorelki в чём-то прав. Если сделать много-много оговорок (ну там, про все инварианты, про непрерывность или конечность и ещё какие-нибудь разные свойства группы) то его мнение о том, что инвариант(ы) эту группу определяют, наверное, будет верным. Надо подумать.

[epros]

igorelki в сообщении #226398 писал(а):

epros в сообщении #226088 писал(а):

Чему сопоставлять, каким "точкам"? Всё изначально сопоставлено - "точки" это и есть четвёрки чисел в некой изначально выбранной ИСО. Такова постановка физической задачи, в которой нам предстоит найти общую формулу перехода в другую ИСО, удовлетворяющую двум постулатам.

Как Вы определите прямую? Вы даже не поймете, какой геометрией она описывается, а выражения типа: "точки" это и есть четвёрки чисел в некой изначально выбранной ИСО" - даже больше не вспоминайте.

Приходится вспоминать, ибо Вы в изначальную постановку задачи никак не въедете. А она как раз такова, что имеется множество четвёрок чисел $(t, \vec{r})$, и понятие "прямая" определяется как их подмножество, удовлетворяющее уравнению $\vec{r} = \vec{v} \cdot t + \vec{r}_0$. Не нужно теперь изобретать какие-то экзотические геометрии (типа проективной - с бесконечными точками), потому что заданное таким образом пространство уже является аффинным. Можете проверить, рассмотрев все 28 аксиом.

[nestoklon]

igorelki в сообщении #226638 писал(а):

все преобразования получают из инвариантов (даже в том же СТО).

Собственно, простейший контрпример который смог придумать: Группы $C_{\infty}$ и $C_{\infty v}$. У них совпадают все инварианты, но группы разные.
Очевидно, аналогичный выбор -- добавлять или нет к группе Лоренца инверсию остаётся за нами.

[Munin]

ewert в сообщении #226711 писал(а):

И это -- правильные оговорки.

А никто и не спорит. Только в результате метрики нет.

nestoklon в сообщении #226797 писал(а):

Собственно, простейший контрпример который смог придумать: Группы $C_{\infty}$ и $C_{\infty v}$. У них совпадают все инварианты, но группы разные.
Очевидно, аналогичный выбор -- добавлять или нет к группе Лоренца инверсию остаётся за нами.

Да, совсем недавно говорил о том же самом другим языком: алгебра не определяет топологию группы, приводил пример $\mathrm{SU}(2)$ и $\mathrm{SO}(3).$ Но всё-таки "локально" (точнее, на окрестности конечного размера) геометрии этих групп совпадают, отличается только то, каким образом из таких кусков сшить целую группу.

[igorelki]

Munin в сообщении #226828 писал(а):

приводил пример и

Умножение кватернионов не коммутативно, поэтому они не образуют числовые поля и не являются плоноценными числами.

[Munin]

Это к чему было сказано? В математике вообще "полноценные числа" не наделяются никакими преимущественными правами лет сто-полтораста уже.

[igorelki]

igorelki в сообщении #226899 писал(а):

Умножение кватернионов не коммутативно, поэтому они не образуют числовые поля

Оставим это. А сказано было: вроде мы в качестве пространства рассматриваем некое множество $K$ над числовым полем $k$. Чего в Вашем примере нет. Может я ошибаюсь?

[Munin]

igorelki в сообщении #227071 писал(а):

Оставим это. А сказано было: вроде мы в качестве пространства рассматриваем некое множество $K$ над числовым полем $k$. Чего в Вашем примере нет. Может я ошибаюсь?

Да, ошибаетесь. Алгебра $\mathrm{SU}(2)$ - это алгебра Ли над полем $\mathbb{R}.$ Почему вы вообще решили вспомнить про кватернионы, мне непонятно.

[nestoklon]

igorelki в сообщении #227071 писал(а):

А сказано было: вроде мы в качестве пространства рассматриваем некое множество $K$ над числовым полем $k$. Чего в Вашем примере нет. Может я ошибаюсь?

Разговор был про группу. А вы вдруг захотели поля.
Это как если бы вы сказали "загадайте число", а потом начали возражать против 4, потому что оно не простое.

[igorelki]

Munin в сообщении #226828 писал(а):

и

Про кватернионы я вспомнил, так как так же обозначают некоторые унитарные кватернионы.

nestoklon в сообщении #227197 писал(а):

Разговор был про группу. А вы вдруг захотели поля.
Это как если бы вы сказали "загадайте число", а потом начали возражать против 4, потому что оно не простое.

Группу Вы где будете задавать - на пустом месте? Может быть, какое-то множество необходимо?

Munin в сообщении #227084 писал(а):

Да, ошибаетесь. Алгебра - это алгебра Ли над полем

С алгеброй Ли еще проще - она не коммутативна по определению. Я ведь всегда говорил об инвариантах, которые определяют кекоторую группу, при этом они же (инварианты) определяют геометрию пространства для данной группы, так как речь изначально шла о геометрии.

[Munin]

igorelki в сообщении #227296 писал(а):

Группу Вы где будете задавать - на пустом месте? Может быть, какое-то множество необходимо?

Вы не в курсе, как задаются группы $\mathrm{SU}(N)$ и $\mathrm{SO}(N)?$ Берут матрицы размера $N\times N,$ комплексные или действительные соответственно, с матричным умножением, и выбирают среди них унитарные ($U^{+}U=1$) или ортогональные ($O^{\mathrm{T}}O=1$) с определителем $1.$

igorelki в сообщении #227296 писал(а):

С алгеброй Ли еще проще - она не коммутативна по определению.

И что?

igorelki в сообщении #227296 писал(а):

Я ведь всегда говорил об инвариантах, которые определяют кекоторую группу, при этом они же (инварианты) определяют геометрию пространства для данной группы, так как речь изначально шла о геометрии.

К сожалению, ни один инвариант не сможет запретить в качестве "пространства для группы" использовать любое её представление. В частности, например, нулевое $\{0\}.$