Задача на экстремум, НЕ используя дифф. исчисление

[krabathor]

Ув. TOTAL!
Не могли бы вы пояснить свое решение? Буду очень благодарен.

[TOTAL]

Неравенство означает, что для неправильного треугольника величина не максимальна.
То есть максимум достигается при $x=y=z=\pi/3$

[krabathor]

А почему из
$F(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z)-F(x,y,z)=\sin^2\frac{x-y}{2}+2\cos z\cos\frac{x+y}{2}\left(1-\cos \frac{x-y}{2}\right) > 0$
следует, что для неправильного треугольника величина не максимальна?
Поясните, пожалуйста.

[ИСН]

Это было доказательство выпуклости функции, что, вместе с её симметричностью, приводит нас к - - -

[TOTAL]

krabathor в сообщении #225768 писал(а):

А почему из
$F(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z)-F(x,y,z)=\sin^2\frac{x-y}{2}+2\cos z\cos\frac{x+y}{2}\left(1-\cos \frac{x-y}{2}\right) > 0$
следует, что для неправильного треугольника величина не максимальна?
Поясните, пожалуйста.

Потому, что для тр-ка $(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z)$ величина больше, чем для неправильного тр-ка $(x,y,z)$

[Батороев]

krabathor в сообщении #225430 писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить задачу на экстремум, НЕ используя методы дифференциального исчисления:

$\max(\cos(x)\cos(y)+\cos(x)\cos(z)+\cos(y)\cos(z))$

для двух случаев:

а)$x+y+z=180^\circ$;

$ \max $ при $x = y = 180^\circ; z = - 180^\circ $

[krabathor]

TOTAL в сообщении #225774 писал(а):

krabathor в сообщении #225768 писал(а):

А почему из
$F(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z)-F(x,y,z)=\sin^2\frac{x-y}{2}+2\cos z\cos\frac{x+y}{2}\left(1-\cos \frac{x-y}{2}\right) > 0$
следует, что для неправильного треугольника величина не максимальна?
Поясните, пожалуйста.

Потому, что для тр-ка $(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z)$ величина больше, чем для неправильного тр-ка $(x,y,z)$

Ок, для тр-ка $(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z)$ (равнобедренного) это верно. Откуда следует вывод, что максимум достигается при $x=y=z=\pi/3$ (равносторонний тр-к $(\frac{x+y+z}{3},\frac{x+y+z}{3},\frac{x+y+z}{3},)$)? Поясните, пожалуйста, если не затруднит.

[TOTAL]

krabathor в сообщении #225781 писал(а):

Откуда следует вывод, что максимум достигается при $x=y=z=\pi/3$

Это следует из того, что для любого друго треугольника это не максимум.

[krabathor]

TOTAL в сообщении #225800 писал(а):

krabathor в сообщении #225781 писал(а):

Откуда следует вывод, что максимум достигается при $x=y=z=\pi/3$

Это следует из того, что для любого друго треугольника это не максимум.

Спасибо большое, я понял вашу идею. Единственный не до конца ясный момент, почему в выражении

$$\sin^2\frac{x-y}{2}+2\cos z\cos\frac{x+y}{2}\left(1-\cos \frac{x-y}{2}\right) > 0$$

строгий знак неравенства?